• 前言

  感谢视频作者，无意间刷到，把旋度和散度讲的很通俗易懂，可视化也很直观。本文为学习笔记。

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结论：

• 散度是通量的体密度，即通量的微分；
• 旋度是环量的面密度，即环量的微分；

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1. 梯度（graident）

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对于数量场的量

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nabla算子把数量场变成了向量场，即 \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n\)：

\[\nabla = \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2}\frac{\partial}{\partial x_3}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_n}\end{bmatrix}^T \]

\(\nabla\)和函数的数量乘\(\nabla f\) 称为函数梯度，代表函数

梯度的性质：

• 沿着梯度方向走，函数值增大
• 沿着相反于梯度的方向走，函数值减小
• 垂直于梯度方向，函数值不变

2. 散度（divergence）

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对于向量场

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\(\nabla\)和函数的点乘\(\nabla f\) 称为函数散度，某点散度代表了该点向外的通量体密度. \(\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\)。

设某个三维矢量场为\(f,\) 那么散度

\[\begin{aligned}\mathbf{div} (\mathbb{f}) &= \nabla \cdot f \\&=\begin{bmatrix} {\frac{\partial f_x}{\partial x} , \frac{\partial f_y}{\partial y}, \frac{\partial f_z}{\partial z} }\end{bmatrix}\begin{bmatrix} f_x \\ f_y \\f_x\end{bmatrix}\\&=\frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} + \frac{\partial f_z}{\partial z}\end{aligned} \]

这里的\([f_x, f_Y,f_z] = {f} \cdot \vec{n}\)

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【nabla算子】与梯度、散度、旋度