背包九讲

01背包

题目链接：01背包
题目：

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0 0

解答：
此题需要使用按照减而治之的思想，动态规划的方式进行处理。
时间复杂度：O(n * m)
具体状态转移方程为：
dp[i][j]代表在i件物品的情况下，体积j能容纳的最大价值。
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i])：

1. 当不拿取第i件物品时，最大价值为dp[i-1][j]。
2. 当拿取第i件物品时，最大价值为dp[i-1][j - v[i]] + w[i]，即前i-1件物品给第i件物品腾出v[i]的空间后，可以获得到w[i]的回报。
   代码示例：

#include

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int v[MAXN];    // 体积
int w[MAXN];    // 价值
int f[MAXN][MAXN];  // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) //此处从1开始，为了方便后续的[i-1]不用判断是否小于0
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            if(j < v[i]) //  当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            else // 能装，需进行决策是否选择第i个物品
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

空间优化：

#include 

using namespace std;
const int MAXN = 1005;
int v[MAXN];
int w[MAXN];
int dp[MAXN];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = m; j >= v[i]; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << dp[m];
    return 0;
}

完全背包

题目链接：完全背包
题目描述：

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0 0

解答:
代码：

#include 
using namespace std;
const int MAXN= 1005;
int dp[MAXN];
int v[MAXN];
int w[MAXN];
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    dp[0] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = v[i]; j <= m; j++) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << dp[m];
    return 0;
}

多重背包

题目链接：
题目：
解答：
代码：