Z变换

Z变换的定义与收敛域

Z变换定义

由DTFT的分析式

\[X(e^{jω})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} \]

将其中的\(e^{-jωn}\)换成\(r^{-n}e^{-jωn}\)，令\(z=re^{jω}\)，即可得到Z变换的定义式

\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} \]

其中\(z=re^{jω}\)，当\(r＝1\)时（即\(z=e^{jω}\)）为DTFT的分析式。

其反变换为（由圆周积分可以得到）

\[x[n]=\frac{1}{2 \pi \mathrm{j}} \oint_{c} X(z) z^{n-1} \mathrm{~d} z \]

Z变换的收敛域

使级数收敛的所有z值的集合，称为收敛域。

若\(x[n]r^{-n}\)绝对可和，则X(z)收敛，原因如下

\[\begin{array}{l} X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] r^{-n} e^{-\mathrm{j} \omega n} \\ |X(z)| \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x[n] r^{-n} \| e^{-j \omega n}\right|=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x[n] r^{-n}\right| \end{array} \]

由于定义式中n是从负无穷到正无穷，因此n小于等于-1和n大于等于0需要分别考虑。

将上述不等式写成如下式子

• 对于n从0到正无穷的部分，若存在Rx-使之小于无穷，则收敛域为|z| > Rx-，即当r越大，则后面的指数部分越小，则越有可能收敛。即当z只有负幂次项时，ROC是以原点为圆心的圆外。

• 对于n从负无穷到-1的部分，若存在Rx+使之小于无穷，则收敛域为|z| < Rx+，即当r越小，则后面的指数部分越小，则越有可能收敛。即当z只正幂次项时，ROC是以原点为圆心的圆内。

当负幂次项和正幂次项都存在时，考虑两者的交集，无交集ROC不存在；有交集ROC为圆环。

对于有限长序列，只要当\(|x[n]|<∞\)时，有\(|z^{-n}|<∞\)，即可保证每项\(|x[n]z^{-n}|<∞\)，则X(z)收敛。

而整个定义域内当且仅当z=∞或0时，才有可能出现\(|z^{-n}|=∞\)，因此ROC必包括\(0<|z|<∞\)，只需讨论z=0和∞时的情况即可。对于有限长序列，ROC讨论如下

• 当n<0时，Z只有正幂项，所以ROC为\(0≤|z|<∞\)。

• 当n≥0时，Z只有负幂项，所以ROC为\(0<|z|≤∞\)。

• 当n同时有正负时，ROC为\(0<|z|<∞\)。

总结：

对于左边序列（当同时含有小于0至负无穷的部分与有限长的正幂次项时），ROC为\(0<|z|。

Z变换的性质与定理

线性性质

“包含”，线性性质可能出现零极点相消，导致收敛域扩大。

例如\(x[n]=u[n]-u[n-3]\)，u[n]的z变换为\(\frac{z}{z-1}\)，\(u[-3]\)的z变换为\(\frac{z^{-3}}{1-z^{-1}}\)，化简后得x[n]的z变换为\(z^{-2}+z^{-1}+1\)；发现极点1消失了。

时域移位性质

• 当nd＞0时，相当于加上了nd重的z=0的极点，即加上nd重的z=∞的零点，即去除了nd重z=∞的极点。

• 当nd＜0时，相当于加上了nd重的z=∞的极点，即加上nd重的z=0的零点，即去除了nd重z=0的极点。

指数序列相乘性质

例如求\(x[n]=r^ncos(ω_0n)u[n]\)的Z变换

微分性质

可用来求非有理函数的Z反变换，例如

共轭性质

时间倒置共轭性质

卷积性质

可能出现零极点相消扩大收敛域。

初值定理

总结：

Z的反变换

围线积分法（有理无理Z变换皆可）

\[x[n]=\frac{1}{2 \pi \mathrm{j}} \oint_{C} X(z) z^{n-1} \mathrm{~d} \]

例题：

观察法（有理Z变换）

记住常用的Z变换，例如

求Z反变换时，注意标出ROC。

部分分式分解法（有理Z变换）

• 对于多重极点，需要求导求出系数。
• 对于假分式，需要用长除法分离出真分式。
• 对于不同的ROC，注意反变换是左边序列还是右边序列。

幂级数展开法（有理Z变换）

将X[z]展开z的各项次幂的和（一般使用长除法：左边序列展开成正幂次项，分母按升幂排列；右边序列，负幂次项，分母按降幂排列），前面的系数为对应的x[n]，例如

ROC为\(0<|z|<∞\)。

此外，幂级数展开法可以用来求超越函数的Z的反变换，用泰勒（或者洛朗）展开，例如

常用函数的taylor展开

实验2 系统函数零极点图

coef_a=[3,-7,5];
coef_b=[1,-2.5,1];
figure(1);
zplane(coef_a,coef_b);

本章习题

1. 求以下序列的Z变换及其收敛域

(1)利用定义和等比级数求和公式算，由于是左边序列，收敛域在圆内。

(2)关注一下单位冲激序列的ROC包含0和∞。

(3)关注以下ROC为使公比的绝对值小于1的|z|的范围。

(4)对于用定义展开后，并非指数的形式，可以用求导消除非指数形式的部分，再求积分即可。

(5)注意两序列之间相差一个δ(n-1)。

2. 通过求出在对应ROC下的原序列，用定义求其傅里叶变换，（对于无限长序列）若能满足公比的绝对值小于1，即可证明傅里叶变换存在。

3. Z变换的初值定理对应的序列必须是因果序列。

4. 利用DFS定义式，分别带入N=N和N=3N

\[\tilde{X}[k]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{N}}\tilde{x}[n] \]

\[\tilde{X_3}[k]=\sum_{n=0}^{3N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n]+\sum_{n=N}^{2N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n]+\sum_{n=2N}^{3N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n] \]

\[\tilde{X}[\frac{k}{3}]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j\frac{-2\pi kn}{3N}}\tilde{x}[n] \]

只要能保证幂指数的周期的整数倍为N，即可证明

\[\tilde{X_3}[k]=3\tilde{X}[\frac{k}{3}] \]

幂指数的周期为\(\frac{3N}{k}\)，因此当k为3的整数倍时，幂指数周期的3k倍为N，得证。

\[k=3m，m=0，±1，… \]