差分格式

1. 重要概念

如果一个格式可以写成：\(u_i^{n+1}=f(u_{i-p}^n,u_{i-p+1}^n, \dots, u^n_{i+q})\)的形式，并且对于每一个变元\(u_k^n,k=i-p,i-p+1,\dots,i+q\)都有:

\[\frac{\part f(u_{i-p}^n,u_{i-p+1}^n, \dots, u^n_{i+q})}{\part u_i^n}>0 \]

则该格式为单调格式。

一个典型的例子是：

\[u_i^{n+1}=\sum_k a_ku_{j+k}^n \]

当组合系数为正时（\(a_k>0\)）为单调格式。

设n时刻\({u_i^n}\)是单调的，如果通过某个格式，得到n+1时刻的\({u_i^{n+1}}\)也是单调的，则该格式为保单调格式。

总变差定义为：\(TV=\sum_i|u_{i+1}-u_i|\)。

TVD格式定义为：满足条件\(TV^{n+1}\le TV^n\)的格式。

如果一个三点格式，可以写成：

\[u^{n+1}_i=u^n_i+C(u_{i+1}^n-u_i^n)-D(u_i^n-u_{i-1}^n) \]

且：\(C\ge0,\quad D\ge 0, \quad C+D\le1\)，则该格式为TVD格式。

对原有格式进行改造：

原有格式=一阶迎风+修正项

TVD型格式=一阶迎风+限制器*修正项

限制器\(\psi=\psi(r)\)，其中：

\[r=\frac{u_i-u_{i-1}}{u_{i+1}-u_{i}} \]

二阶精度范围：\(1\le \psi(r) \le r; 或者 r \le \psi(r)\le 1\)；

TVD范围：\(0\le\psi(r) \le min(2,2r)\);

如图：

结论：