从Pauli算符看SU(2)与SO(3)

如果$U\in SU\left( 2 \right) $,对于任意一个\(2x2\)零迹厄密矩阵\(\sigma=\left( \begin{matrix} z& x-iy\\ x+iy& -z\\ \end{matrix} \right)\)，都有\(U\sigma U^\dagger\)仍旧是零迹厄密矩阵，即
\(U\sigma U^{\dagger}=\tilde{\sigma}=\left( \begin{matrix} \tilde{z}& \tilde{x}-i\tilde{y}\\ \tilde{x}+i\tilde{y}& -\tilde{z}\\ \end{matrix} \right)\)。相当于\(SU(2)\)的作用使得向量\((x,y,z)\)变成了\(\left( \begin{array}{c} \tilde{x},\tilde{y},\tilde{z}\\ \end{array} \right)\). 而这对应着一个\(SO(3)\)的矩阵作用到向量\((x,y,z)\)上，所以\(SU(2)\)与\(SO(3)\)有着某种对应关系，更进一步的，这种对应关系是两个\(SU(2)\)元素对应着一个\(SO(3)\)元素。

线性光学仪器中的SU(2)与SO(3)

线性光学仪器中也有这种对应关系。对于满足玻色子对易关系的算子:$$\begin{aligned}
&{\left[a_{i}, a_{j}\right]=\left[a_{i}^{\dagger}, a_{j}^{\dagger}\right]=0} \
&{\left[a_{i}, a_{j}^{\dagger}\right]=\delta_{i j}}
\end{aligned}$$。 我们可以构造这样的三个算子:$$\begin{aligned}
&J_{x}=\frac{1}{2}\left(a_{1}^{\dagger} a_{2}+a_{2}^{\dagger} a_{1}\right) \
&J_{y}=-\frac{i}{2}\left(a_{1}^{\dagger} a_{2}-a_{2}^{\dagger} a_{1}\right) \
&J_{z}=\frac{1}{2}\left(a_{1}^{\dagger} a_{1}-a_{2}^{\dagger} a_{2}\right)
\end{aligned}$$.容易发现他们三个具有这样的对易关系:$$\begin{aligned}
&{\left[J_{x}, J_{y}\right]=i J_{z}} \
&{\left[J_{y}, J_{z}\right]=i J_{x}} \
&{\left[J_{z}, J_{x}\right]=i J_{y}}
\end{aligned}$$. 而对于任意一个\(SU(2)\)元素作用在\(\left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \end{array} \right)\)上，即

\[\left( \begin{array}{c} \tilde{a}_1\\ \tilde{a}_2\\ \end{array} \right) =U \left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \end{array} \right)\]

我们有这相当于

\[\left( \begin{array}{c} \tilde{J}_x\\ \tilde{J}_y\\ \tilde{J}_z\\ \end{array} \right) =O\left( \begin{array}{c} J_x\\ J_y\\ J_z\\ \end{array} \right) \]

其中$ O\in SO\left( 3 \right)$。