大臣的旅费
大臣的旅费
很久以前，$T$ 王国空前繁荣。
为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。
为节省经费，$T$ 国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。
同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。
J是T国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。
所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了 $J$ 最常做的事情。
他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。
聪明的J发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第 $x$ 千米到第 $x+1$ 千米这一千米中（$x$是整数），他花费的路费是 $x+10$ 这么多。也就是说走 $1$ 千米花费 $11$，走 $2$ 千米要花费 $23$。
$J$ 大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？
输入格式
输入的第一行包含一个整数 $n$，表示包括首都在内的T王国的城市数。
城市从 $1$ 开始依次编号，$1$ 号城市为首都。
接下来 $n?1$ 行，描述 $T$ 国的高速路（$T$国的高速路一定是 $n?1$ 条）。
每行三个整数 $P_{i},Q_{i},D_{i}$，表示城市 $P_{i}$ 和城市 $Q_{i}$ 之间有一条双向高速路，长度为 $D_{i}$ 千米。
输出格式
输出一个整数，表示大臣 $J$ 最多花费的路费是多少。
数据范围
$1 \leq n \leq 10^{5}$,
$1 \leq P_{i},Q_{i} \leq n$,
$1 \leq D_{i} \leq 1000$
输入样例：
5 1 2 2 1 3 1 2 4 5 2 5 4
输出样例：
135
解题思路
根据题意，这是一个无环连通图，也就是一棵树。
题目是问我们树上的最长路径是多少，也就是问我们树的直径。
树的直径：一棵树上长度最长的路径。
求树的直径的其中一种方法是用dfs：
- 任取一点$x$，求剩余的点到$x$的距离，并在这些点中找到一个到$x$距离最大的点$y$。
- 求所有点到$y$的距离，到$y$最大的距离就是树的直径。
下面证明这种做法是正确的。
我们从第一步找到一个距离$x$最远的点$y$，如果$y$是其中一个直径（可能存在多个大小相同的直径）的端点，那么根据第二步找到的离$y$最远的距离就是其中一条直径。
用反证法，假设$y$不是任何一条直径的端点。
情况$1$，假设存在一条直径，与$x$到$y$的路径有交点：
假设$u$，$v$是直径的两个端点，与$x$到$y$的路径上有交点$u$。
因为$y$是距离$x$最远的一个点之一，因此有$d_{xuy} \geq d_{xuv}$，有公共的一段$d_{xu}$，因此有$d_{uy} \geq d_{uv}$。加上同一段$d_{uw}$，因此有$d_{yuw} \geq d_{vuw}$。又因为$d_{vw}$是一条直径，因此$d_{yw}$也是一条直径，即$y$是直径的端点，与假设矛盾。
情况$2$，假设存在一条直径，与$x$到$y$的路径没有交点：
假设$u$，$v$是直径的两个端点，由于是一颗树（连通），因此会有一条路径$ab$连接$xy$和$vw$这两条路径。
因为$y$是距离$x$最远的一个点之一，因此有$d_{xay} \geq d_{xabv}$，有公共的一段$d_{xa}$，因此有$d_{ay} \geq d_{abv}$。由于每一条路径的长度大于$0$，$d_{ab} > 0$，因此有$d_{ay} > d_{bv}$，$d_{yab} > d_{bv}$。加上同一段$d_{bw}$，因此有$d_{yabw} > d_{vw}$。又因为$d_{vw}$是一条直径，而$d_{yabw} > d_{vw}$，矛盾。
因此正确性得到证明，$y$必然是某条直径的端点。
AC代码如下：
1 #include2 #include 3 #include 4 using namespace std; 5 6 const int N = 1e5 + 10, M = N << 1; 7 8 int head[N], e[M], wts[M], ne[M], idx; 9 int dist[N]; 10 11 void add(int v, int w, int wt) { 12 e[idx] = w, wts[idx] = wt, ne[idx] = head[v], head[v] = idx++; 13 } 14 15 void dfs(int src, int pre, int d) { 16 dist[src] = d; 17 for (int i = head[src]; i != -1; i = ne[i]) { 18 if (e[i] != pre) { 19 dfs(e[i], src, d + wts[i]); 20 } 21 } 22 } 23 24 int main() { 25 memset(head, -1, sizeof(head)); 26 27 int n; 28 scanf("%d", &n); 29 for (int i = 0; i < n - 1; i++) { 30 int v, w, wt; 31 scanf("%d %d %d", &v, &w, &wt); 32 add(v, w, wt), add(w, v, wt); 33 } 34 35 dfs(1, 0, 0); // 任取一点1，求其余点到1的距离 36 37 // 找到距离1最远的点maxv 38 int maxv = 1; 39 for (int i = 1; i <= n; i++) { 40 if (dist[i] > dist[maxv]) maxv = i; 41 } 42 43 dfs(maxv, 0, 0); // 求所有点到maxv的距离 44 45 // 找到离maxv最远的距离，这个距离就是树的直径 46 int maxd = -1; 47 for (int i = 1; i <= n; i++) { 48 maxd = max(maxd, dist[i]); 49 } 50 printf("%lld", 10 * maxd + maxd * (maxd + 1ll) / 2); 51 52 return 0; 53 }
参考资料
AcWing 1207. 大臣的旅费（蓝桥杯C++ AB组辅导课）：https://www.acwing.com/video/710/