Formiko总结整数十进制转换二进制原理

引子: 为什么十进制转二进制的“辗转相除记录余数倒序输出”的算法是正确的？这个问题陪伴了Formiko半年。

实践:

　　实践一:把十进制数100转换成二进制数的图

　　　　　　上图和和下图唯一的区别在最后一位上，只是除到0和除到1的区别，但在算法本身的理解上应该不会有本质的区别。

　　实践二: 十进制数100或许太大，不便于一目了然的验证。试一试十进制数1,2,3。　

思考:

　　以上算法的思路是“对原数反复进行除法得到余数，最后将余数倒序输出”。但是看到如图对十进制数100,1,2,3的操作，都看不出原思路的由来。那我们从这个思路可以推导出几个定论。我们看到在最后倒序输出的时候，最后一个输出的数就是对原数进行第一次除法操作得到的余数。比如有人问我们：“十进制数100的二进制数的个位是多少”，我们肯定会回答：“是0。”得出这个答案的方法有很多，第一种方法是：“十进制数100的二进制是个偶数，二进制偶数的个位是0。”，第二种方法是：“对十进制数100进行一次除法得到余数0，二进制的个位是0。”第二种方法源于我们对“十进制转换二进制算法”的推导。理解这个推导是很容易的。因为二进制数转换成十进制数的方法是：“将二进制数从低位到高位乘2的n次方，将各个结果相加得到十进制数，具体来说二进制数1100100=十进制数0*2⁰+0*2¹+1*2²+0*2³+0*2⁴+1*2⁵+1*2⁶=十进制数100。”从中可以看到，将二进制数乘开的过程中，除了个位，其他位的数都乘了2ⁿ，也即将非各位结果相加得到的数必定是偶数。所以对任意一个十进制数除2，余数就是二进制数的个位。

　　我们来做几个小验证。100-->0,　　1-->1, 　　0-->0, 　　31-->1。

　　但是这还不够，我们已经得到了计算个位的方法，但是这还不够。我们又想，二进制数的“十位”该怎么求得呢？假如有人问我们：“十进制数14的二进制数的后两位是多少？”或许我们会明白很多。这个问题等同于：“十进制数14的二进制数的“十位”和个位是多少？”。我们还是看前一个问题吧，后两位，不难想到对14除以4，得到的余数便是十进制2，即二进制10，所以十进制数14的二进制的后两位是10。这样对吗，把二进制数乘开就明白了。

　　所以得到二进制数的“十位”的方法是对原数除2得到第一个余数，对原数除4得到第二个余数，第二个余数减第一个余数等于“十位”。而原算法神奇地避免了除2，除4，除8的操作，而是利用的前一次除法的商，也神奇地避免了减去低位余数的操作，也是直接利用前一次除法的商。

　　到此，我们用一种方式了解了整数十进制转换二进制的原理。

总结:

　　思考整数十进制转换二进制原理的一种方法就是从简单到一般，从一位到多位，从低位到高位。

题后话:

　　Formiko不能自己证明以上思路的最优性，请阅读这篇博文的朋友在评论中批评指正，谢谢。

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