数论杂项
数论杂项
一.排列组合
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排列的定义:从\(n\)个不同元素中,任取\(m(m≤n,m与n均为自然数,下同)\)个不同的元素按照一定的顺序排成一列,叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个排列;从n个不同元素中取出\(m(m≤n)\)个元素的所有排列的个数,叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的排列数,用符号 $ A(n,m) \(或\)A_n^m$
\[\notag A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!} \] -
组合的定义:从\(n\)个不同元素中,任取\(m(m≤n)\)个元素并成一组,叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个组合;从\(n\)个不同元素中取出\(m(m≤n)\)个元素的所有组合的个数,叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的组合数。用符号 \(C(n,m)\) 或 \(C_n^m\) 表示。
\[\notag C_n^m=\frac{A^m_n}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=C(n,n-m) \]
二.杨辉三角形
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第\(n\)行有\(n\)个数。
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每行奇数个数必为\(2^k\)(\(k\)不是行数)
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当行数恰为\(2^k\)时,奇数个数为\(2^k\)个,无偶数。
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当行数恰为\(2^k\)时,其前\(2^k\)行有\(3^{(k-1)}\)个奇数。
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前\(n\)行奇数个数(\(p\)):
\[\notag n=2^{k1}\times 2^{k2}\times 2^{k3}....\times 2^{kn}\\ p=1\times 3^{kn}+2\times 3^{kn-1}+2^2\times 3^{kn-2}+....+2^{n-1}\times 2^{k1} \] -
前\(n\)行偶数个数$(n-1)\times n /2 -p $