动态规划算法（DP,Dynamic Programming）

前言

一、递归到DP的一般转化方法

二、DP解题的一般思路

• 1.将原问题分解为子问题
• 2.*确定状态
• 3. 确定一些初始状态（边界状态）的值
• 4. 确定状态转移方程

能用DP解决的问题的特点

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前言

一、递归到DP的一般转化方法

递归函数有n个参数，就定义一个n维的数组，数组
的下标是递归函数参数的取值范围，数组元素的值
是递归函数的返回值，这样就可以从边界值开始，
逐步填充数组，相当于计算递归函数值的逆过程。

二、DP解题的一般思路

1.将原问题分解为子问题

• 把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同
  或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解
  决(数字三角形例）。
• 子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求解一次。

2.*确定状态

• 在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相
  关的各个变量的一组取值，称之为一个“状态”。
  一个“状态”对应于一个或多个子问题，
  所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状态”所对应的子问题的解。
• 所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态
  空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。
  在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，所以这个
  问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。
  整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需
  时间。
  在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次，且在每个
  状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。
• 用动态规划解题，经常碰到的情况是，K个整型变量能
  构成一个状态（如数字三角形中的行号和列号这两个变量
  构成“状态”）。如果这K个整型变量的取值范围分别是
  N1, N2, ……Nk，那么，我们就可以用一个K维的数组
  array[N1] [N2]……[Nk]来存储各个状态的“值”。这个
  “值”未必就是一个整数或浮点数，可能是需要一个结构
  才能表示的，那么array就可以是一个结构数组。一个
  “状态”下的“值”通常会是一个或多个子问题的解。

3. 确定一些初始状态（边界状态）的值

• 以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值
  就是底边数字值。

4. 确定状态转移方程

• 定义出什么是“状态”，以及在该 “状态”下的“值”后，就要
  找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的
  “状态”，求出另一个“状态”的“值”。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。

能用DP解决的问题的特点

1. 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的
   子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结
   构性质。
2. 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程
   的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪
   种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没
   有关系。
3. 子问题可重叠性。 所求解的问题可视作若干个重叠子问 题的逐层递进，每个子问题的求解过程都构成一个阶段。