DQN（Deep Q-learning）入门教程（一）之强化学习介绍

什么是强化学习？

强化学习（Reinforcement learning，简称RL）是和监督学习，非监督学习并列的第三种机器学习方法，如下图示：

首先让我们举一个小时候的例子：

你现在在家，有两个动作选择：打游戏和读书。如果选择打游戏的话，你就跑到了网吧，选择读书的话，就坐在了书桌面前。你爸妈下班回家，如果发现你在网吧，就会给你一套社会主义的铁拳，如果你在书桌面前的话，就会买根棒棒糖给你吃。

首先，你在家的时候并不知道选择哪一个动作，因此你可能会选择study或者game。但是，当你接受了多次社会主义的毒打和奖励棒棒糖之后，你会发现选择game会得到惩罚，选择study你会得到奖励。因此当你再次处于”home“状态时，你就会偏向于选择“study”。（这便是强化学习！！）

强化模型可以建模如下：

以上面的为例子，对如下进行说明：

• Agent：Agent也就是执行个体，我们可以操作执行个体做出不同的选择（也就是动作Action）。

  图中的“你”

• Environment：我们研究的环境，它有一个一个的状态（State）。

  图中你所处的位置状态：网吧or书桌

• Action：当Agent做出动作（action）的时候，环境会发生改变也就是State会发生改变。

  选择Study或者Game后你会处于书桌或者网吧的状态

• Reward：当State发生改变时，环境会给予一定的奖励（奖励可为正负）。

  拳头or棒棒糖

总的来说，就是Agent在\(t\)时刻处于\(s_t\)状态，它会做出某一个动作\(a_i\)，导致\(t+1\)的状态为\(s_{t+1}\)，同时在\(t+1\)时刻得到的奖励为\(R_{t+1}\)。

接下来我们再介绍强化学习中稍微复杂一点的概念。这些概念是以后的基础，也比较简单，很容易理解。

策略(Policy)\(\pi\)

当Agent处于某一个state的时候，它做的Action是不确定的，例如你可以选择study也可以选择game，也就是说你在某一个状态是以一定的概率去选择某一个action。也就是说，策略的选择是一个条件概率\(\pi(a|s)\)，这里的\(\pi\)与数序中的\(\pi\)没有任何关系，他只是代表一个函数而已（因此也可以写作\(f(a|s)\)）。

\[\pi(a|s) = P(A_t=a | S_t=s) \]

此函数代表：在状态\(s\)时采取动作\(a\)的概率分布。

价值(value)

前面我们说到过奖励，当Agent在\(t\)时刻执行某个动作时，会得到一个\(R_{t+1}\)。我们可以想一下蝴蝶效应，这个Action会影响\(R_{t+1}\)，那么他会不会影响\(R_{t+2}，R_{t+3}……R_{t+n}\)呢？很可能会的，比如说在电游中，你所做的某个选择肯定会对接下来的游戏产生影响，这个影响可以深远，也可以没那么深渊（对，我说的就是隐形守护者，mmp），因此状态价值函数可以表示为：

\[v_{\pi}(s) = \mathbb{E}_{\pi}(R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2R_{t+3}+...|S_t=s) \]

\(v_{\pi}(s)\)与策略函数\(\pi\)有关，可以理解为当Agent以策略\(\pi\)运行时，状态\(s\)的价值是多少。也就是在此状态下，我能够得到多少回报。

在后面我们会详细的对这个函数进行分析。

$ \gamma$ 奖励衰减因子

在上面的价值函数中，有一个变量\(\gamma\) ，即奖励衰减因子，在[0，1]之间。如果为0，则是贪婪法，即价值只由当前的奖励决定，如果是1，则所有的后续状态奖励和当前奖励一视同仁。一般来说取0到1之间的数。

环境的状态转化模型

由于在某个状态下，执行一定的action，能够达到新的一个状态\(state_{t+1}\)，但是\(state_{t+1}\)不一定是唯一的。环境的状态转化模型，可以理解为一个概率状态机，它是一个概率模型，即在状态\(t\)下采取动作\(a\),转到下一个状态\(s'\)的概率，表示为\(P_{ss'}^a\)。

探索率\(\epsilon\)

怎么说的探索率呢？它主要是为了防止陷入局部最优。比如说目前在\(s_1\)状态下有两个\(a_1,a_2\)。我们通过计算出，发现执行\(a_1\)的动作比较好，但是为了防止陷入局部最优，我们会选择以 \(\epsilon\) 的概率来执行\(a_2\)，以\(1 - \epsilon\) 的概率来执行\(a_1\)。一般来说，\(\epsilon\) 随着训练次数的增加而逐渐减小。

马尔科夫决策过程(MDP)

前面我们说过某个状态执行action可以转换成另外一个state，可以用概率表示为：\(P_{ss'}^a\)。那么这个概率与什么有关呢？认真的考虑下，毋庸置疑，与目前的状态\(s_t和a\)有关，但是同样，它可能也与上一个状态\(s_{t-1}\)，上上个状态\(s_{t-2}\)……有关，但是如果真的这样考虑，就复杂了。

因此我们将问题进行一定的简化，简化的方法就是假设状态转化的马尔科夫性，也就是假设转化到下一个状态\(s'\)的概率仅与当前状态\(s\)有关，与之前的状态无关（也就是说未来与当前有关，与过去无关）。用公式表示就是：

\[P_{ss'}^a = \mathbb{P}(S_{t+1}=s'|S_t=s, A_t=a) \]

同时对于针对于策略 \(\pi\) 我们也做MDP假设，也就是说，当前Agent所作的策略仅仅与当前状态有关，与以前的状态都没有关系，因此：

\[\pi(a|s) = P(A_t=a | S_t=s) \]

同样针对于价值函数\(v\)，有：

\[v_{\pi}(s) = \mathbb{E}_{\pi}(R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2R_{t+3}+...|S_t=s) \]

价值函数与Bellman方程

之所以我们来分析这个价值函数，是因为它是强化学习的核心，为什么Agent能够自动学习，自动选择某一个Action，其中一个量化标准就是它：

\[v_{\pi}(s) = \mathbb{E}_{\pi}(R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2R_{t+3}+...|S_t=s) \]

令：

\[\begin{equation}G_{t}=R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+\ldots=\sum_{k=0}^{\infty} \gamma^{k} R_{t+k+1}\end{equation} \]

\(G_t\)代表Return，代表Agent从某一个状态\(S_t\)开始直到终止状态时所有奖励的有衰减的之和。

则有：

\[v_{\pi}(s) = \mathbb{E}_{\pi}(G_t|S_t=s) \]

So：

\[\begin{equation}\begin{aligned} v_{\pi}(s) &=\mathbb{E}_{\pi}\left(R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+\gamma^{2} R_{t+3}+\ldots | S_{t}=s\right) \\ &=\mathbb{E}_{\pi}\left(R_{t+1}+\gamma\left(R_{t+2}+\gamma R_{t+3}+\ldots\right) | S_{t}=s\right) \\ &=\mathbb{E}_{\pi}\left(R_{t+1}+\gamma G_{t+1} | S_{t}=s\right) \\ &=\mathbb{E}_{\pi}\left(R_{t+1}+\gamma v_{\pi}\left(S_{t+1}\right) | S_{t}=s\right) \end{aligned}\end{equation} \]

因此：

\[v_\pi(s)=\mathbb{E}\left[R_{t+1}+\gamma v\left(S_{t+1}\right) | S_{t}=s\right] \]

上述方程便是Bellman方程的基本形态。因此我们可以知道，当前状态的价值与奖励\(\R_{t+1}\)和下一个状态的价值有关。

动作价值函数

这里再说一下动作价值函数，它代表着在当前state下，做某一个action的价值：

\[q_{\pi}(s,a) = \mathbb{E}_{\pi}(G_t|S_t=s, A_t=a) = \mathbb{E}_{\pi}(R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2R_{t+3}+...|S_t=s,A_t=a) \]

同样，我们利用Bellman方程，可以将上式转化成：

\[q_{\pi}(s,a) = \mathbb{E}_{\pi}(R_{t+1} + \gamma q_{\pi}(S_{t+1},A_{t+1}) | S_t=s, A_t=a) \]

动作价值函数与状态价值函数之间可以相互进行转化：

\[v_{\pi}(s) = \sum\limits_{a \in A} \pi(a|s)q_{\pi}(s,a) \\ q_{\pi}(s,a) = R_s^a + \gamma \sum\limits_{s' \in S}P_{ss'}^av_{\pi}(s') \]

图示说明如下：图来自（）

综上可得：

\[\begin{equation}\begin{aligned} v_{\pi}(s) &=\sum_{a \in A} \pi(a | s)\left(R_{s}^{a}+\gamma \sum_{s^{\prime} \in S} P_{s s^{\prime}}^{a} v_{\pi}\left(s^{\prime}\right)\right) \\ q_{\pi}(s, a) &=R_{s}^{a}+\gamma \sum_{s^{\prime} \in S} P_{s s^{\prime}}^{a} \sum_{a^{\prime} \in A} \pi\left(a^{\prime} | s^{\prime}\right) q_{\pi}\left(s^{\prime}, a^{\prime}\right) \end{aligned}\end{equation} \]

总结

OK，强化学习的入门介绍就到这里，通过这篇博客，我们知道了：

• 策略 \(\pi\) ：表示在某一个状态下，action的概率分布函数\(\pi(a|s) = P(A_t=a | S_t=s)\)

• \(\gamma\) ：奖励衰减因子，表示后续奖励的占比

• 探索率\(\epsilon\)：表示Agent以 \(\epsilon\) 的概率来随机选择action

• 状态转化模型：表示执行某个action后，状态变化的概率函数\(P_{ss'}^a = \mathbb{P}(S_{t+1}=s'|S_t=s, A_t=a)\)

• 状态价值函数：表示 \(t\) 时刻的状态 \(s_{t}\) 能获得的未来回报（return）的期望\(v_\pi(s)=\mathbb{E}\left[R_{t+1}+\gamma \left(S_{t+1}\right) | S_{t}=s\right]\)

• 动作价值函数：表示 \(t\) 时刻的状态 \(s\)，选择一个 action 后能获得的未来回报（return）的期望

  \(q_{\pi}(s,a) = \mathbb{E}_{\pi}(R_{t+1} + \gamma q_{\pi}(S_{t+1},A_{t+1}) | S_t=s, A_t=a)\)

参考

• Reinforcement learning
• 强化学习3：价值函数和Bellman方程