【机器学习】逻辑回归（Logistic Regression）
注：最近开始学习《人工智能》选修课，老师提纲挈领的介绍了一番，听完课只了解了个大概，剩下的细节只能自己继续摸索。
从本质上讲：机器学习就是一个模型对外界的刺激（训练样本）做出反应，趋利避害（评价标准）。
1. 什么是逻辑回归？
许多人对线性回归都比较熟悉，但知道逻辑回归的人可能就要少的多。从大的类别上来说，逻辑回归是一种有监督的统计学习方法，主要用于对样本进行分类。
在线性回归模型中，输出一般是连续的，例如$$y = f(x) = ax + b$$，对于每一个输入的x，都有一个对应的y输出。模型的定义域和值域都可以是[-∞, +∞]。但是对于逻辑回归，输入可以是连续的[-∞, +∞]，但输出一般是离散的，即只有有限多个输出值。例如，其值域可以只有两个值{0, 1}，这两个值可以表示对样本的某种分类，高/低、患病/健康、阴性/阳性等，这就是最常见的二分类逻辑回归。因此，从整体上来说，通过逻辑回归模型，我们将在整个实数范围上的x映射到了有限个点上，这样就实现了对x的分类。因为每次拿过来一个x，经过逻辑回归分析，就可以将它归入某一类y中。
逻辑回归与线性回归的关系
逻辑回归也被称为广义线性回归模型，它与线性回归模型的形式基本上相同，都具有 ax+b，其中a和b是待求参数，其区别在于他们的因变量不同，多重线性回归直接将ax+b作为因变量，即y = ax+b，而logistic回归则通过函数S将ax+b对应到一个隐状态p，p = S(ax+b)，然后根据p与1-p的大小决定因变量的值。这里的函数S就是Sigmoid函数
$$S(t) = \frac{1}{1 + e^{-t}}$$
将t换成ax+b，可以得到逻辑回归模型的参数形式：$$p(x; a,b) = \frac{1}{1 + e^{-(ax+b)}} ……（1）$$
图1：sigmoid函数的图像
通过函数S的作用，我们可以将输出的值限制在区间[0， 1]上，p(x)则可以用来表示概率p(y=1|x)，即当一个x发生时，y被分到1那一组的概率。可是，等等，我们上面说y只有两种取值，但是这里却出现了一个区间[0, 1]，这是什么鬼？？其实在真实情况下，我们最终得到的y的值是在[0, 1]这个区间上的一个数，然后我们可以选择一个阈值，通常是0.5，当y>0.5时，就将这个x归到1这一类，如果y<0.5就将x归到0这一类。但是阈值是可以调整的，比如说一个比较保守的人，可能将阈值设为0.9，也就是说有超过90%的把握，才相信这个x属于1这一类。了解一个算法，最好的办法就是自己从头实现一次。下面是逻辑回归的具体实现。
逻辑回归模型的代价函数
逻辑回归一般使用交叉熵作为代价函数。关于代价函数的具体细节，请参考代价函数，这里只给出交叉熵公式：
$$J(\theta) = -\frac{ 1 }{ m }[\sum_{ i=1 }^{ m } ({y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})})]$$
m：训练样本的个数；
hθ(x)：用参数θ和x预测出来的y值；
y：原训练样本中的y值，也就是标准答案
上角标(i)：第i个样本
2. 数据准备
下面的数据来自《机器学习实战》中的示例：
-0.017612 14.053064 0 -1.395634 4.662541 1 -0.752157 6.538620 0 -1.322371 7.152853 0 0.423363 11.054677 0 0.406704 7.067335 1 0.667394 12.741452 0 -2.460150 6.866805 1 0.569411 9.548755 0 -0.026632 10.427743 0
上面的数据一共是3列10行，其中前两列为x1和x2的值，第3列表示y的值；10行表示取了10个样本点。我们可以将这些数据当做训练模型参数的训练样本。
见到训练样本就可以比较直观的理解算法的输入，以及我们如何利用这些数据来训练逻辑回归分类器，进而用训练好的模型来预测新的样本（检测样本）。
从逻辑回归的参数形式，式子（1）我们可以看到逻辑回归模型中有两个待定参数a（x的系数）和b（常数项），我们现在给出来的数据有两个特征x1, x2，因此整个模型就增加了一项：ax1 + cx2 + b。为了形式上的统一，我们使用带下标的a表示不同的参数（a0表示常数项b并作x0的参数
$$ a_0x_0 + a_1x_1 + a_2x_2 $$
这样统一起来后，就可以使用矩阵表示了（比起前面展开的线性表示方式，用矩阵表示模型和参数更加简便，而且矩阵运算的速度也更快）：
$$ \begin{bmatrix} a_0 & a_1 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = a^{ \mathrm{ T } }X$$
将上面的式子带入到（1）式，我们就可以得到逻辑回归的另一种表示形式了：
$$p(x; a) = \frac{1}{1 + e^{-a^{ \mathrm{ T } }X}} ……（2）$$
此时，可以很清楚的看到，我们后面的行动都是为了确定一个合适的a（一个参数向量），使得对于一个新来的X（也是一个向量），我们可以尽可能准确的给出一个y值，0或者1.
注：数据是二维的，也就是说这组观察样本中有两个自变量，即两个特征（feature）。
3. 训练分类器
就像上面说的，训练分类器的过程，就是根据已经知道的数据（训练样本）确定一个使得代价函数的值最小的a（参数向量/回归系数）的过程。逻辑回归模型属于有监督的学习方法，上面示例数据中的第3列其实是训练样本提供的"标准答案"。也就是说，这些数据是已经分好类的（两类，0或者1）。在训练阶段，我们要做的就是利用训练样本和（2）式中的模型，估计一个比较合适的参数a，使得仅通过前面两列数据（观察值/测量值）就可以估计一个值h(a)，这个值越接近标准答案y，说明我们的模型预测的越准确。
下面是估计回归系数a的值的过程，还是借鉴了《机器学习实战》中的代码，做了少量修改：
其中计算参数梯度，即代价函数对每个参数的偏导数（下面代码中的第36-38行），的详细推导过程可以参考这里
1 ''' 2 Created on Oct 27, 2010 3 Logistic Regression Working Module 4 @author: Peter 5 ''' 6 from numpy import * 7 import os 8 9 path = 'D:\MechineLearning\MLiA_SourceCode\machinelearninginaction\Ch05' 10 training_sample = 'trainingSample.txt' 11 testing_sample = 'testingSample.txt' 12 13 # 从文件中读入训练样本的数据，同上面给出的示例数据 14 # 下面第20行代码中的1.0表示x0 = 1 15 def loadDataSet(p, file_n): 16 dataMat = []; labelMat = [] 17 fr = open(os.path.join(p, file_n)) 18 for line in fr.readlines(): 19 lineArr = line.strip().split() 20 dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) # 三个特征x0, x1, x2 21 labelMat.append(int(lineArr[2])) # 标准答案y 22 return dataMat,labelMat 23 24 def sigmoid(inX): 25 return 1.0/(1+exp(-inX)) 26 27 # 梯度下降法求回归系数a，由于样本量少，我将迭代次数改成了1000次 28 def gradAscent(dataMatIn, classLabels): 29 dataMatrix = mat(dataMatIn) #convert to NumPy matrix 30 labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix 31 m,n = shape(dataMatrix) 32 alpha = 0.001 # 学习率 33 maxCycles = 1000 34 weights = ones((n,1)) 35 for k in range(maxCycles): # heavy on matrix operations 36 h = sigmoid(dataMatrix*weights) # 模型预测值, 90 x 1 37 error = h - labelMat # 真实值与预测值之间的误差, 90 x 1 38 temp = dataMatrix.transpose()* error # 交叉熵代价函数对所有参数的偏导数, 3 x 1 39 weights = weights - alpha * temp # 更新权重 40 return weights 41 42 # 下面是我自己写的测试函数 43 def test_logistic_regression(): 44 dataArr, labelMat = loadDataSet(path, training_sample) # 读入训练样本中的原始数据 45 A = gradAscent(dataArr, labelMat) # 回归系数a的值 46 h = sigmoid(mat(dataArr)*A) #预测结果h(a)的值 47 print(dataArr, labelMat) 48 print(A) 49 print(h) 50 # plotBestFit(A) 51 52 test_logistic_regression()
上面代码的输出如下：
- 一个元组，包含两个数组：第一个数组是所有的训练样本中的观察值，也就是X，包括x0, x1, x2；第二个数组是每组观察值对应的标准答案y。
([[1.0, -0.017612, 14.053064], [1.0, -1.395634, 4.662541], [1.0, -0.752157, 6.53862], [1.0, -1.322371, 7.152853], [1.0, 0.423363, 11.054677], [1.0, 0.406704, 7.067335], [1.0, 0.667394, 12.741452], [1.0, -2.46015, 6.866805], [1.0, 0.569411, 9.548755], [1.0, -0.026632, 10.427743]], [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0])
- 本次预测出来的回归系数a，包括a0, a1, a2
[[ 1.39174871] [-0.5227482 ] [-0.33100373]]
- 根据回归系数a和（2）式中的模型预测出来的h(a)。这里预测得到的结果都是区间(0, 1)上的实数。
[[ 0.03730313] [ 0.64060602] [ 0.40627881] [ 0.4293251 ] [ 0.07665396] [ 0.23863652] [ 0.0401329 ] [ 0.59985228] [ 0.11238742] [ 0.11446212]]
标准答案是{0, 1}，如何将预测到的结果与标准答案y进行比较呢？取0.5作为阈值，大于该值的样本就划分到1这一组，小于等于该值的样本就划分到0这一组，这样就可以将数据分为两类。检查一下结果可以看到，我们现在分出来的1这一类中包括原来y=1的两个样本，另一类包括原来y=0的所有样本和一个y=1的样本（分错了）。鉴于我们选择取的样本比较少（只有10个），这样的效果其实还算非常不错的！
4. 结果展示
上面已经求出了一组回归系数，它确定了不同类别数据之间的分割线。可以利用X内部（x1与x2之间的关系）的关系画出该分割线，从而更直观的感受到分类的效果。
添加下面一段代码：
1 # 分类效果展示，参数weights就是回归系数 2 def plotBestFit(weights): 3 import matplotlib.pyplot as plt 4 dataMat,labelMat=loadDataSet(path, training_sample) 5 dataArr = array(dataMat) 6 n = shape(dataArr)[0] 7 xcord1 = []; ycord1 = [] 8 xcord2 = []; ycord2 = [] 9 for i in range(n): 10 if int(labelMat[i])== 1: 11 xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2]) 12 else: 13 xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2]) 14 fig = plt.figure() 15 ax = fig.add_subplot(111) 16 ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s') 17 ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green') 18 x = arange(-3.0, 3.0, 0.1) 19 y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2] # x2 = f(x1) 20 ax.plot(x.reshape(1, -1), y.reshape(1, -1)) 21 plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2'); 22 plt.show()
将上面的test_logistic_regression()函数中的最后一句注释去掉，调用plotBestFit函数就可以看到分类的效果了。
这里说明一下上面代码中的第19行，这里设置了sigmoid函数的取值为1/2，也就是说取阈值为0.5来划分最后预测的结果。这样可以得到$$e^{-a^{ \mathrm{ T } }X} = 1$$，即$-a^TX=0$，可以推出$x_2 = (-a_0x_0 - a_1x_1)/a_2$，同第19行，也就是说这里的$y$实际上是$x_1$，而$x$是$x_1$。因此下图表示的是$x_1$与$x_2$之间的关系。
分类效果图如下：
三个红色的点是原来$y=1$的样本，有一个分错了。这里相当于将所有的数据用二维坐标(x1, x2)表示了出来，而且根据回归参数画出的线将这些点一分为二。如果有新的样本，不知道在哪一类，只用将该点画在图上，看它在这条直线的哪一边就可以分类了。
下面是使用90个训练样本得到的结果：
可以看出一个非常明显的规律是，$y=1$的这一类样本（红色的点）具有更小的$x_2$值，当$x_2$相近时则具有更大的$x_1$值。
此时计算出来的回归系数a为：
[[ 5.262118 ] [ 0.60847797] [-0.75168429]]
5. 预测新样本
添加一个预测函数，如下：
直接将上面计算出来的回归系数a拿来使用，测试数据其实也是《机器学习实战》这本书中的训练数据，我拆成了两份，前面90行用来做训练数据，后面10行用来当测试数据。
1 def predict_test_sample(): 2 A = [5.262118, 0.60847797, -0.75168429] # 上面计算出来的回归系数a 3 dataArr, labelMat = loadDataSet(path, testing_sample) 4 h_test = sigmoid(mat(dataArr) * mat(A).transpose()) # 将读入的数据和A转化成numpy中的矩阵 5 print(h_test) # 预测的结果
调用上面的函数，可以得到以下结果，即h(a)：
[[ 0.99714035] [ 0.04035907] [ 0.12535895] [ 0.99048731] [ 0.98075409] [ 0.97708653] [ 0.09004989] [ 0.97884487] [ 0.28594188] [ 0.00359693]]
下面是我们的测试数据（原来的训练样本后十行的数据，包括标准答案y）：
0.089392 -0.715300 1 1.825662 12.693808 0 0.197445 9.744638 0 0.126117 0.922311 1 -0.679797 1.220530 1 0.677983 2.556666 1 0.761349 10.693862 0 -2.168791 0.143632 1 1.388610 9.341997 0 0.317029 14.739025 0
比较我们预测得到的h(a)和标准答案y，如果按照0.5为分界线的话，我们利用前90个样本训练出来的分类器对后面10个样本的类型预测全部正确。
附件：
github上的代码更新到python3.6, 2019-1-6
完整代码：https://github.com/OnlyBelter/MachineLearning_examples/tree/master/de_novo/regression
训练数据：https://github.com/OnlyBelter/MachineLearning_examples/blob/master/de_novo/data/Logistic_Regression-trainingSample.txt
测试数据：https://github.com/OnlyBelter/MachineLearning_examples/blob/master/de_novo/data/Logistic_Regression-testingSample.txt
参考：
http://baike.baidu.com/item/logistic%E5%9B%9E%E5%BD%92
https://en.wikipedia.org/wiki/Sigmoid_function
《机器学习实战》，哈林顿著，李锐等译，人民邮电出版社，2013年6月第一版