Array Differentiation

题意

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\) ，问是否存在一个长度为 \(n\) 的序列，满足：

• 对于任意 \(1 \le i \le n\)，存在 \(1 \le j, k \le n\) ，满足 \(a_i = b_j - b_k\) 。
  其中 \(1 \le n \le 10\)。

分析

把 \(b_i\) 当作点权， \(a_i\) 当作边权，对于 \(a_i = b_j - b_k\) ，\(b_j\) 向 \(b_k\) 连一条边。

在 \(n\) 个点内，我们可以构造使得 \(a\) 序列前 \(n-1\) 个数字被满足，比如令 \(b_{i+1} - b_i = a_i\)，
这样就形成了一个链。那么，对于剩下一个元素，我们想让它也满足，那么必然会形成一个环。
对于首尾相连的环， \((b_{i+1} - b_i) + (b_i - b_{i-1}) + ... + (b_2 - b_1) + (b_1 - b_{i+1}) = 0\) ，而 \(a_i = b_{i+1} - b_i\)，也就是这个环上所有边权相加为 \(0\) 。但是原始环在有方向时不一定是环，所以要重排方向，这样每个边权都可能有两种状态。

所以我们只需要找出是否存在这样的环即可，对于每个点，都有三种状态：

1. 不在环内。
2. 在环中，重排后为正数。
3. 在环中，重排后为负数。

用三进制数判断每个点的状态。

Code

#include 
using namespace std;

void solve ()
{
    int n, m = 1; cin >> n;
    vector a(n); forr(&x, a) cin >> x, m *= 3;

    for (int i = 1; i < m; i ++ )
    {
        int s = i, sum = 0;
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
        {
            if (s % 3 == 1) sum += a[j];
            else if (s % 3 == 2) sum -= a[j];
            s /= 3;
        }
        if (!sum) return cout << "YES\n", void();
    }
    cout << "NO\n";
}

signed main ()
{
    cout.tie(0)->sync_with_stdio(0);
    int _; for (cin >> _; _--; ) solve();
    return 0;
}