我曾经把所有的三角函数公式写在一篇文章中，还自己编了一些口诀，每天来背诵，可是自从停止背诵的第二天，我就忘得干干净净了。或许是我的记忆力差罢。

所以我想尝试通过一些偏推导向，不过又不全是推导的东西来帮助自己的记忆。

1. 函数关系与诱导公式

1.1 函数关系

可以想起，三角函数可以在单位圆上得到一个很直观的体现。取圆上的一点与原点连线，其与数轴可以包围出一个三角形，对于这个三角形，有三个量，即\(x\),\(y\),\(r\).

将这三个量以上下各一个元素的分式的形式进行排列组合，再减去上下相同的无意义项，易得得出的集合里有\(3^2-3=6\)个元素。将这一过程用图表的方式表达出来如下：

分子\分母	x	y	r
x	\(\emptyset\)	cot	cos
y	tan	\(\emptyset\)	sin
r	sec	csc	\(\emptyset\)

在上表中，位于同一条左低右高斜线上的项互余，即分子分母互为相反。根据恒等式\(x^2+y^2=r^2\)，可以求出所有的函数关系。

1.2 诱导公式

一般的形式为\(sin(\pm x\pm \frac{n}2 \pi),n=0,1,\cdots\)，其中函数也可替换为\(cos\)及\(tan\).虽然这样的普遍形式看起来很复杂，不过还是可以所有的情况都看作下面的四种情况的前后叠加：

操作	几何意义
函数内容取反	圆上该点关于x轴取对称
函数内容\(\pm 2 \pi\)	圆上该点环绕一周
函数内容\(\pm \pi\)	圆上该点关于原点对称
函数内容取反并加上\(\frac{\pi}{2}\)	圆上该点移动，使得包围出原来的角的余角

因为已知公式是普适的，所以我们在特殊情况下的验证可以推广到所有情况上。假设原来的点落在第一象限内，根据上述四种操作的几何意义，可以求得每一种原子操作对最后结果所造成的影响。最后，将公式表达为这四种操作的前后叠加，并将哪些影响也前后叠加，即可得到结果。

2 和差公式群

2.1 概述

所谓的和差公式群，是指和差公式本身，以及根据之较容易推导出的一系列公式，包括倍角公式，半角公式，积化和差公式，和和差化积公式。

2.2 De Moivre's formula

\[r_1(\cos\theta_1 + i \sin\theta_1)\cdot r_1(\cos\theta_2 + i \sin\theta_2) = r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)] \]

2.3 和差公式

定义两个复数分别为：

\[\begin{cases} z_1 = \cos x + i \sin x\\ z_2 = \cos y + i \cos y \end{cases} \]

用两种不同的方式计算两者的乘积，构建一个等式，则其实部和虚部分别对应相等。

\[z_1\cdot z_2 = \cos(x+y) + i \sin(x+y)\\ z_1\cdot z_2 = (\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)=(\cos x\cos y-\sin x +\sin y) + i(\cos x\sin y + \cos y \sin x)\\ \Rightarrow \\ \begin{cases} \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\\ \sin(x+y) = \cos x \sin y + \cos y \sin x \end{cases} \]

当和转变为差，很显然的，右侧式子中的正负号也会发生转变，但是其他部分将保持不变。

2.4 倍角公式与半角公式

当和差公式中的和的两个算数相同时，就得到了倍角公式。具体形式如下：

\[\sin 2x = 2 \sin x \cos y\\ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = -1 + 2 \cos ^2 x \]

使用其中的第二条等式，很容易地可以求得如下等式：

\[\sin^2 x = \sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}\\ \cos^2 x = \sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}} \]

注:上面两组式子，不仅是倍角公式和半角公式，同时也是升幂公式和降幂公式。

2.5 积化和差公式

看看所有的可能的积化和差公式的输入：

	sin	cos
sin	\(\sin \alpha\sin \beta\)	\(\sin \alpha\cos \beta\)
cos	\(\cos \alpha\sin \beta\)	\(\cos \alpha\cos \beta\)

试图去想想这些元素在和差公式的哪里出现过，以什么形式出现。如果你的回忆足够好，那么就能够很容易地快速写出它们所对应的结果。

2.6 和差化积公式

看看所有的可能的和差化积公示的输入：

	相加	相减
sin	\(\sin \alpha + \sin\beta\)	\(\sin \alpha - \sin\beta\)
cos	\(\cos \alpha + \cos\beta\)	\(\cos \alpha - \cos\beta\)

对于这些输入，我们并没有那么熟悉。不过我们还是可以试图去想象通过积化和差公式的逆过程去得到结果。我们可以设置一个对应使得：

\[\alpha \Rightarrow p + q\\ \beta \Rightarrow p - q \]

那么，这些输入将变得熟悉起来。然后，求出结果后，进行一个反对应来恢复变量：

\[p \Rightarrow\frac{\alpha+\beta}{2}\\ q \Rightarrow\frac{\alpha-\beta}{2} \]

3. 万能公式

3.1 关于tan的情况

上诉描述中都可以忽略了对于\(\tan\)的讨论，实际上是因为它没有什么好说的，通过\(\frac{\sin}{\cos}\)就可以获得了。

3.2 tan的倍角公式

\[\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1-\tan^2 \frac{x}{2}} \]

根据上式，可以作对应三角形如下：

据此图像，则很容易得到\(\sin\)及\(\cos\)的万能公式。