欧拉定理

欧拉定理

欧拉定理，是指对于所有的 \(n\)，若 \(a\) 与 \(n\) 互质，那么
\[a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\]

证明

那么这个东西是怎么来的呢？
我们首先把 \(1\)~\(n-1\) 中与 \(n\) 互质的数放到一个集合 \(X\) 里：
\[X=\{ x_1,x_2,\cdots ,x_{\phi(n)} \}\]
然后，我们再用一个集合 \(M\) 记录 \(a \times x_i\)：
\[M=\{ a \times x_1,a \times x_2,\cdots,a \times x_{\phi(n)} \}\]
然后，我们要证明两个东西。

证明 M 内所有的元素模 n 后不同余

这里我们用反证法，假设存在 \(i,j \in M\) 且 \(i \not= j\) 并满足
\[m_i \equiv m_j \pmod{n}\]
那么，我们把他拆开来：
\[a \times x_i \equiv a \times x_j \pmod{n}\]
这里我们假设 \(m_i > m_j\)再移个项：
\[a \times x_i - a \times x_j \equiv 0 \pmod{n}\]
由于 \(a\) 与 \(n\) 互质：
\[x_i - x_j \equiv 0 \pmod{n}\]
那么，由于 \(x_i,x_j\) 都小于 \(n\)，所以 \(x_i - x_j < n\)，又因为 \(x_i \not= x_j\)，所以假设不成立。

证明 M 中的每个元素模 n 后都与 n 互质

这个很简单粗暴。
我们知道 \(m_i=a \times x_i\)。
由于 \(a\) 与 \(n\) 互质，\(x_i\) 也与 \(n\) 互质，所以 \(m_i\) 模 \(n\) 后也与 \(n\) 互质。
其实带到欧几里得算法里推一下就好了：
\[gcd(a \times x_i,n)=gcd(m_i,n)=gcd(n,m_i \bmod n)=1\]

推柿子

根据上面两个性质，就可以推柿子了：
\[m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_{\phi(n)} \equiv x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \pmod{n}\]
\[a \times x_1 \times a \times x_2 \times \cdots \times a \times x_{\phi(n)} \equiv x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \pmod{n}\]
\[a^{\phi(n)} \times x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \equiv x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \pmod{n}\]
\[(a^{\phi(n)}-1) \times x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \equiv 0 \pmod{n}\]
\[a^{\phi(n)} \equiv 0 \pmod{n}\]
于是就搞出来啦~

费马小定理

呼~终于证完了~
啥？还有费马小定理？
费马小定理其实就是欧拉定理的一个特殊的情况啦~
费马小定理是说，若 \(n\) 为质数，那么对于所有满足 \(a \nmid n\) 的 \(a\)，都有
\[a^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}\]
为什么说费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况呢？因为当 \(n\) 为质数时，\(\phi(n)=n-1\)，而且 \(a \nmid n\) 就相当于 \(a\) 与 \(n\) 互质。