AcWing 一维差分和二维差分
一、一维差分
1、一维差分定义
797. 差分
定义：\(b[i]=a[i]-a[i-1]\),称\(b\)数组是\(a\)数组的差分数组。
举个栗子：
\(a=[0,1,2,3,4,5]\)
\(b=[0,1,1,1,1,1]\)
为啥呢？
\(a[5]-a[4]=b[5]\)
\(a[4]-a[3]=b[4]\)
\(a[3]-a[2]=b[3]\)
\(a[2]-a[1]=b[2]\)
\(a[1]-a[0]=b[1]\)
算一下，就是\(b=[1,1,1,1,1]\)
把上面五个式子左边加在一起，右边也加在一起，两边还应该相等。就是：
\(a[5]-a[4]+a[4]-a[3]+a[3]-a[2]+a[2]-a[1]+a[1]-a[0]=b[5]+b[4]+b[3]+b[2]+b[1]\)
\(a[5]=b[1]+b[2]+b[3]+b[4]+b[5]\)
太奇妙了！\(a\)数组是\(b\)数组的一维前缀和数组！
小结：
(1)、\(a\)数组中，每个数字后面减前面得到的数字填入\(b\)数组，\(b\)数组就叫\(a\)数组的差分数组。
(2)、同时，\(a\)数组就是\(b\)数组的前缀和数组。
(3)、通过“叠加”差分数组，就可以还原出“原数组”的每一个数字！
(4)、前缀和与差分互为逆运算，有原数组可以计算出差分数组；有差分数组，也可以还原成原数组。
2、一维差分作用
使用场景：
在某个区间\([l,r]\)的多次操作都加上（或减去）一个数\(x\)时，一维差分可以大大提高运算速度。
举个栗子：
总结公式：
void insert(int l,int r,int c){
b[l]+=c;
b[r+1]-=c;
}
我们利用刚才的结论:通过“叠加”差分数组，就可以还原出“原数组”的每一个数字！!这玩意就整一回合适吗？不合适，还不够费功夫的呢！生成一维差分也就算了，从一维差分数组还原回原数组就需要\(n\)次运算，整不好还赔了呢！但如果是多次区间加减运算，就合适了！
3、一维差分应用
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int a[N], b[N];
/**
* 功能：差分计算
* @param l 左边界
* @param r 右边界
* @param c 值
*/
void insert(int l, int r, int c) {
b[l] += c;
b[r + 1] -= c;
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
insert(i, i, a[i]);
//或者 b[i]=a[i]-a[i-1];
}
while (m--) {
int l, r, c;
cin >> l >> r >> c;
insert(l, r, c);
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
a[i] = a[i - 1] + b[i], printf("%d ", a[i]);
return 0;
}
二、二维差分
798. 差分矩阵
1、二维差分定义
我们有一个矩阵，如下图所示。
根据二维前缀和表示的是右上角矩形的和，由于差分只涉及前面相邻的数（由一维可以推出），并且由前面范围的数相加得到这个位置的数。那么类比二维前缀和和一维差分，可以简单推测出
二维差分的公式
\(b[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]\)
如何从差分矩阵得到原矩阵呢？[就是二维前缀和公式]
\(a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j]\)
举个栗子
比如，我们有一个矩阵 a，如下所示：
1 2 4 3
5 1 2 4
6 3 5 9
那么对应的二维差分矩阵 b 如下：
1 1 2 -1
4 -5 -1 3
1 1 1 2
2、二维差分用途
和一维差分的用途基本一致，在一个二维矩阵中，有多块区间需要增加或减少一个数值，多次操作后求最终的矩阵内容。如果按照传统办法，就是二层循环，复杂度很高，如果预处理出一个二维的差分矩阵，以后的多轮操作都转为了4次加加减减操作，可以视为\(O(1)\)级别的时间复杂度，运算效率将得到极大提高。
3、二维差分构建
如果我们要在左上角是 (x1,y1)，右下角是 (x2,y2) 的矩形区间每个值都 +c，如下图所示
在我们要的区间开始位置（x1,y1）处 +c，根据前缀和的性质，那么它影响的就是整个黄色部分，多影响了两个蓝色部分，所以在两个蓝色部分 -c 消除 +c 的影响，而两个蓝色部分重叠的绿色部分多了个 -c 的影响，所以绿色部分 +c 消除影响。所以对应的计算方法如下：
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
b[x1][y1] += c; //开始位置增加C
b[x2 + 1][y1] -= c; //见上面的图，把第二行的蓝色区域减去C
b[x1][y2 + 1] -= c; //见上面的图，把第一行的蓝色区域减去C
b[x2 + 1][y2 + 1] += c; //交叉位置被减了两次，需要补回来。
}
4、二维差分应用
题目传送门
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];
int n, m, q;
/**
* 功能：二维差分构建
* @param x1 左上角横坐标
* @param y1 左上角纵坐标
* @param x2 右下角横坐标
* @param y2 右下角纵坐标
* @param c 值
*/
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
b[x1][y1] += c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x1][y2 + 1] -= c;
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main() {
cin >> n >> m >> q;
//读入并构建
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
cin >> a[i][j], insert(i, j, i, j, a[i][j]);
//q次区域变化
while (q--) {
int x1, y1, x2, y2, c;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
insert(x1, y1, x2, y2, c);
}
//还原二维数组
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {//二维前缀和公式
a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];
printf("%d ", a[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}