高一函数专题同步拔高，难度3颗星！

模块导图

知识剖析

二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．
设\(f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)\)，求\(f(x)\)在\(x∈[m,n]\)上的最大值与最小值．
\({\color{Red}{分析}}\)：将\(f(x)\)配方，得顶点为\(\left(-\dfrac{b}{2 a}, \dfrac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right)\)、对称轴为\(x=-\dfrac{b}{2 a}\)；
当\(a>0\)时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在\([m,n]\)上\(f(x)\)的最值：
\((1)\)当\(-\dfrac{b}{2 a} \in[m, n]\)时，
\(f(x)\)的最小值是\(\text { ? } f\left(-\dfrac{b}{2 a}\right)=\dfrac{4 a c-b^{2}}{4 a}\),\(f(x)\)的最大值是\(f(m)\)，\(f(n)\)中的较大者．
\((2)\)当\(-\dfrac{b}{2 a}时，由\(f(x)\)在\([m,n]\)上是增函数，则\(f(x)\)的最小值是\(f(m)\)，最大值是\(f(n)\)．
\((3)\)当\(-\dfrac{b}{2 a}>n\)时，由\(f(x)\)在\([m,n]\)上是减函数，则\(f(x)\)的最大值是\(f(m)\)，最小值是\(f(n)\)．
当\(a<0\)时，可类比得结论．

经典例题

【题型一】定轴动区间

已知\(f(x)\)是二次函数，不等式\(f(x)<0\)的解集是\((0 ,5)\)，且\(f(x)\)在区间\([-2 ,4]\)上的最大值是\(28\)．
(1)求\(f(x)\)的解析式；
(2)设函数\(f(x)\)在\(x∈[t ,t+1]\)上的最小值为\(g(t)\)，求\(g(t)\)的表达式．
【解析】(1)\(∵f(x)\)是二次函数，且\(f(x)<0\)的解集是\((0 ,5)\)，
\(∴\)可设\(f(x)=ax(x-5)(a>0)\)．
\({\color{Red}{(待定系数法，二次函数设为交点式) }}\)
\(∴f(x)\)在区间\([-2,4]\)上的最大值是\(f(-2)=14a\)．
由已知得\(14a=28\)，\(∴a=2\)，
\(∴f(x)=2x(x-5)=2x^2－10x(x∈R)\)．
(2)由(1)得\(f(x)=2(x-2.5)^2-12.5\)，
函数图象的开口向上，对称轴为\(x=2.5\)
\({\color{Red}{(讨论对称轴x=2.5与闭区间[t ,t+1]的相对位置)}}\)
①当\(t+1≤2.5\)时，即\(t≤1.5\)时，
\(f(x)\)在\([t ,t+1]\)上单调递减，
\({\color{Red}{ (对称轴在区间右侧)}}\)
此时\(f(x)\)的最小值\(g(t)=f(t+1)\)\(=2(t+1)^{2}-10(t+1)=2 t^{2}-6 t-8\)；
②当\(t≥2.5\)时，\(f(x)\)在\([t ,t+1]\)上单调递增， \({\color{Red}{(对称轴在区间左侧) }}\)
此时\(f(x)\)的最小值\(g(t)=f(t)=2t^2-10t\)；
③当\(1.5时，函数\(y=f(x)\)在对称轴处取得最小值
\({\color{Red}{ (对称轴在区间中间)}}\)
此时，\(g(t)=f(2.5)=－12.5\)
综上所述，得\(g(t)\)的表达式为\(g(t)=\left\{\begin{array}{l} 2 t^{2}-6 t-8, t \leq 1.5 \\ -12.5,1.5．
【点拨】
① 利用待定系数法求函数解析式；
② 对于二次函数\(f(x)=2(x-2.5)^2-12.5\),对称轴\(x=2.5\)是确定的，而函数的定义域\([t ,t+1]\)不确定，则按照对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况进行讨论.

【题型二】动轴定区间

求\(f(x)=x^2-2ax-1\)在区间\([0 ,2]\)上的最大值和最小值．
【解析】\(f(x)=x^2-2ax-1\)的对称轴为\(x=a\)．
①当\(a<0\)时，如图①可知，\(f(x)\)在\([0 ,2]\)上递增，
\(\therefore f(x)_{\min }=f(0)=-1\)，\(f(x)_{\max }=f(2)=3-4 a\)．
②当\(0≤a≤2\)时，
\(f(x)\)在\([0 ,a]\)上递减，在\([a ,2]\)上递增，
\(\therefore f(x)_{\min }=f(a)=-1-a^{2}\),
而\(f(0)=-1\),\(f(2)=3-4a\)，
\({\color{Red}{(此时最大值为f(0)和f(2)中较大者)}}\)
(i)当\(0≤a<1\)时，\(f(x)_{\max }=f(2)=3-4 a\)，如图②，
(ii)当\(1≤a≤2\)时，\(f(x)_{\max }=f(0)=-1\)，如图③，
③当\(a>2\)时，由图④可知，\(f(x)\)在\([0 ,2]\)上递减，
\(\therefore f(x)_{\min }=f(2)=3-4 a\)，\(f(x)_{\max }=f(0)=-1\)．
综上所述，
当\(a<0\)时，\(f(x)_{\min }=-1\)，\(f(x)_{\max }=3-4 a\)；
当\(0≤a<1\)时，\(f(x)_{\min }=-1-a^{2}\)，\(f(x)_{\max }=3-4 a\)；
当\(1≤a≤2\)时，\(f(x)_{\min }=-1-a^{2}\)，\(f(x)_{\max }=-1\)；
当\(a>2\)时，\(f(x)_{\min }=3-4 a\)，\(f(x)_{\max }=-1\)．

【点拨】
① 题目中的函数\(f(x)=x^2-2ax-1\)的对称轴\(x=a\)是不确定的，定义域\([0 ,2]\)是确定的，在求最小值时与“定轴动区间”的思考一样分对称轴\(x=a\)在区间\([0 ,2]\)的“左、中、右”分成三种情况(即\(a<0\),\(0≤a≤2\)，\(a>2\))进行讨论.
② 在求最大值时，当\(0≤a≤2\)，还需要判断\(x=0\)和\(x=2\)时谁离对称轴更远些，才能确定\(f(0)\)、\(f(2)\)哪个是最大值，则还有分类\(0≤a<1\),\(1.

【题型三】逆向题型

已知函数\(f(x)=ax^2+(2a-1) x-3\)在区间\(\left[-\dfrac{3}{2}, 2\right]\)上最大值为\(1\)，求实数\(a\)的值．
【解析】\((1)\)若\(a=0\)， \({\color{Red}{(注意函数不一定是二次函数)}}\)
则\(f(x)=-x-3\),而\(f(x)\)在\(\left[-\dfrac{3}{2}, 2\right]\)上的最大值\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{3}{2} \neq 1\),
\(∴a≠0\)
\((2)\)若\(a≠0\)，则\(f(x)=ax^2+(2a-1) x-3\)的对称轴为\(x_{0}=\dfrac{1-2 a}{2 a}=\dfrac{1}{2 a}-1\)，
则\(y=f(x)\)的最大值必定是\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)\)、\(f(2)\)、\(f\left(\dfrac{1}{2 a}-1\right)\)这三数之一，
\((i)\)若\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=1\)，解得\(a=-\dfrac{10}{3}\)，
此时\(x_{0}=-\dfrac{23}{20} \in\left[-\dfrac{3}{2}, 2\right]\)
而\(a<0\)，\(f(x_0)\)为最大值与\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)\)为最大值矛盾，故此情况不成立．
\((ii)\)若\(f(2)=1\)，解得\(a=\dfrac{3}{4}\)，此时\(x_{0}=-\dfrac{1}{3} \in\left[-\dfrac{3}{2}, 2\right]\),
而\(a=\dfrac{3}{4}>0\),\(x_{0}=-\dfrac{1}{3}\)距右端点\(2\)较远，\(f(2)\)最大值符合条件，
\(\therefore a=\dfrac{3}{4}\).
\((iii)\)若\(f\left(\dfrac{1}{2 a}-1\right)=1\)，
解得\(a=\dfrac{-3 \pm 2 \sqrt{2}}{2}\)，
当\(a=\dfrac{-3+2 \sqrt{2}}{2}<0\)时，\(x_{0}=-2 \sqrt{2}-4 \notin\left[-\dfrac{3}{2}, 2\right]\)，
则最大值不可能是\(f\left(\dfrac{1}{2 a}-1\right)\)；
当\(a=\dfrac{-3-2 \sqrt{2}}{2}<0\)时 ,\(x_{0}=2 \sqrt{2}-4 \in\left[-\dfrac{3}{2}, 2\right]\)，
此时最大值为\(f\left(\dfrac{1}{2 a}-1\right)\)，
\(\therefore a=\dfrac{-3-2 \sqrt{2}}{2}\)；
综上所述\(a=\dfrac{3}{4}\)或\(a=\dfrac{-3-2 \sqrt{2}}{2}\).
【点拨】本题没有按照分对称轴在定义域的“左、中、右”分离讨论，否则计算量会很大，还要考虑开口方向呢.思路是最大值必定是\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)\)、\(f(2)\)、\(f\left(\dfrac{1}{2 a}-1\right)\)这三数之一，那逐一讨论求出a值后再检验就行.

巩固练习

1(★★)已知函数\(f(x)=x^2+2ax+2\)．
(1)当\(a=1\)时，求函数\(f(x)\)在区间\([-2 ,3)\)上的值域；
(2)当\(a=-1\)时，求函数\(f(x)\)在区间\([t ,t+1]\)上的最大值；
(3)求\(f(x)\)在\([-5 ,5]\)上的最大值与最小值．

2(★★)已知函数\(f(x)=x^2+2mx+1\)．
(1)若\(m=1\)，求\(f(x)\)在\([-1，3]\)上的最大值和最小值；
(2)若\(f(x)\)在\([-2，2]\)为单调函数，求\(m\)的值；
(3)在区间\([-1，2]\)上的最大值为\(4\)，求实数\(m\)的值．

3(★★)已知函数\(f(x)=9x^2-6ax+a^2-10a-6\)在\(\left[-\dfrac{1}{3}, b\right]\)上恒大于或等于\(0\)，其中实数\(a∈[3,+∞)\), 求实数\(b\)的范围.

4(★★★)已知函数\(f(x)=-\dfrac{x^{2}}{2}+x\)在区间\([m,n]\)上的最小值是\(3m\),最大值是\(3n\)，求\(m,n\)的值.

挑战学霸
设\(a\)为实数，记函数\(f(x)=a \sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\)的最大值为\(g(a)\)．
(1)设\(t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\)，求\(t\)的取值范围，并把\(f(x)\)表示为\(t\)的函数\(m(t)\)，求\(m(t)\)和表达式及\(t\)的取值范围．
(2)求\(g(a)\).

答案

1.\((1) [1,17]\)

\((2)\)\(\left\{\begin{array}{l} (t-1)^{2}+1, t<\dfrac{1}{2} \\ t^{2}+1, t \geq \dfrac{1}{2} \end{array}\right.\)；
\((3)\)\(a>5\)时, 最小值为\(27-10a\)，最大值为\(27+10a\)；
\(0时，最小值为\(2-a^2\)，最大值为\(27+10a\)．
\(a<-5\)时，最大值为\(27-10a\)，最小值为\(27+10a\)．

2.\((1)\)最大值是\(16\)，最小值\(0\)
\((2)\)\(m≥2\)或\(m≤-2\)
\((3)\)\(m=-1\)或\(-\dfrac{1}{4}\)

3.\(b≤-1\)

4.\(m=-4,n=0\)

【挑战学霸】
\((1)\)\(m(t)=\dfrac{1}{2} a t^{2}+t-a, t \in[\sqrt{2}, 2]\)
\((2)\)\(g(a)=\left\{\begin{array}{c} a+2,-\dfrac{1}{2}