RSoft仿真应用01——根据结构生成PB相位图

理论知识

偏振态及其表示（斯托克斯参数和邦加球）

• 在光的电磁场理论中，光线可由空间的电磁波传输来表征，常用它的电场强度矢量\(E(r,t)\)表征；

• 光线传播时，该电场强度矢量在空间和时间上振荡

  • 在各向同性介质中，振荡的方向总是垂直于传输方向的，对于横波来说，有两个相互独立的振动方向；
  • 各向同性介质中 （如，玻璃，真空），这两个相互独立的振动方向可以任意选择；
  • 如果振动的两个分量是完全不相干的，则振动的合成方向是随机的，这种光线称为非偏振光；
  • 如果一束光线的电场强度矢量在一个特定方向上振动，则这束光线称为是线偏振的。

• 以下介绍偏振时，考虑的时单色平面波在各向同性的均匀介质中的传输；

• 光线用它的电场\(E(r,t)\)表征：

  • 式中，$\omega $是角频率，k是波矢，A是表示振幅的常矢量；
  • \({\rm{k}} = n{\omega \over c} = n{{2\pi } \over \lambda }\)，式中n是介质的折射率，c是真空中的光速，$\lambda $是光在真空中的波长。对于吸收介质来说，折射率是复数。
  • 电场强度矢量总是垂直于传播方向，体现了横向特性：\({\rm{k}} \cdot E = 0\)

• 为了简化数学计算，式（1.6.1）中的单色平面波通常写成：

  • 只有等式右边的实数部分代表实际的电场；
  • 单色光的偏振态由它的电场强度矢量\(E(r,t)\)表征；
  • 电场强度矢量随时间的变化是精确的正弦变化，即电场必须在特定的频率处振荡

• 假定传播方向沿着z轴，对于横波，电场强度矢量必须在xy平面，电场两个相互独立的分量可以写成

  • 两个相互独立的正的振幅\({A_x}\)和\({A_y}\)，两个独立的相角\({\delta _x}\)和\({\delta _y}\)来反映这两个相互独立的分量；
  • 由于振幅是正的，相交的范围定义为$ - \pi < {\delta _{x,y}} \le \pi $；
  • 电场强度矢量的x分量和y分量可以在特定的频率上独立振动，所以必须考虑这两个正交振动分量叠加作用；
  • 两个同频率有一定夹角的独立振荡的叠加问题，一般的运动轨迹是一个椭圆 ，这对应于x分量和y分量的振动不同步，对光波来说，这对应于椭圆偏振态。

• 一般假设没有损耗，考虑在原点z=0处的电场强度矢量的时间演变情况。根据（1.6.5）电场强度分量可以表示为：

  \(\left\{ \matrix{ {E_x} = {A_x}\cos (\omega t + {\delta _x}) \hfill \cr {E_y} = {A_y}\cos (\omega t + {\delta _y}) \hfill \cr} \right.\)（1.6-6）

  • 定义相对相位：\(\delta = {\delta _y} - {\delta _x}\)
  • 再次强调，\(\delta\)的限制范围是\(-\pi<\delta \le \pi\)

线偏振态

• 线偏振：光线的电场强度矢量在一个固定的方向振动（在xy平面内）

• 当振动的两个分量满足以下条件，光线是线偏振的：

  • 同相：\(\delta = {\delta _y} - {\delta _x} = 0\)

  • 反相：\(\delta = {\delta _y} - {\delta _x} = \pi\)

  • 在此情况下，电场强度矢量在xy平面内沿特定方向以正弦方式振动，两个分量的比值定义为：

    • 因为两个相互独立振幅\({A_x}\)和\({A_y}\)，所以线偏振光的电场强度矢量可以沿xy平面内的任意方向振动；

    • 线偏振光常称为平面偏振光。

• 如果在固定的时间点（t=0）来考察电场强度矢量的空间变化，电场强度矢量的分量可以写成

  • 相对相位：\(\delta = {\delta _y} - {\delta _x=0或\pi}\)
  • 分量在空间中的正弦曲线轨迹被限制在由式（1.6.9）定义的平面内，电场强度矢量的振动限制在这个平面内，这种光线称为平面偏振光
  • 平面偏振光和线偏振光的条件是可互换的

圆偏振态

• 定义：如果电场强度矢量在xy平面内均匀旋转，那么这样的光线称为圆偏振光
• 发生情况：
  1. \({A_{\rm{x}}} = {A_y}\)
  2. $\delta=\delta_y-\delta_x=\pm\pi/2 $
     • \(\delta=-\pi/2\)时，光线是右旋圆偏振光，对应于电场强度矢量在xy平面内逆时针旋转；
     • \(\delta=\pi/2\)时，光线是左旋圆偏振光，对应于电场强度矢量在xy平面内顺时针旋转。

Ps:

1. 类似于拧螺丝！！
2. 此处标记右旋偏振和左旋偏振的规定和现代物理学中的术语一致，现代物理学中，右旋圆偏振的光子有一个沿传输方向正的角动量；
3. 一些光学课本中采用相反的规定，这种相反的规定源于电场强度矢量在空间上的演进；
4. 圆偏振光的电场强度矢量分解成任何两个相互垂直的分量时，幅度都是相等的，相位偏移也总是\(\pm\pi/2\)。

椭圆偏振态

• 定义：如果一束光线的电场强度矢量的曲线轨迹是椭圆(在xy平面内)，那么这束光线是椭圆偏振的(最普遍情况！！！)

  • 线偏振态和圆偏振态都是椭圆偏振态的特殊情况

• 椭圆方程推导：

1. 方程式（1.6-5）是电场强度矢量椭圆轨迹的参数表示
   • 在空间中给定点（z=0）得式（1.6-6）

\(\left\{ \matrix{ {E_x} = {A_x}\cos (\omega t + {\delta _x}) \hfill \cr {E_y} = {A_y}\cos (\omega t + {\delta _y}) \hfill \cr} \right.\)（1.6-6）

2. 椭圆方程可以通过消除式（1.6-6）中的\(\omega t\)来得到，经过几步初步代数变换后，得到：

Ps:

• [ ] 从式（1.6-6）中可以看出，二次曲线被限制在一个矩形区域，这个矩形区域的边平行于坐标轴，且边长分别是\(2A_x\)和\(2A_y\)，因此，曲线一定是椭圆。
• [ ] 光的偏振态一般是椭圆，一个椭圆偏振态的完整描述包括椭圆相对于坐标轴的方位、形状和电场旋向

3. 通过坐标系变换(旋转)，对角化式(1.6-12)，令\(x^‘\)和\(y^‘\)是沿着椭圆主轴的新坐标，新坐标系中的椭圆方程变为：

   • a和b是椭圆半长轴和半短轴的长度，\({E_{{x^‘}}}\)、\({E_{{y^‘}}}\)是这个主坐标系的电场强度矢量。
   • 令**$\phi \(**是\)x^‘$轴和x轴之间的夹角，见下图

   • 主轴长度：

   • 角度\(\phi\):

     • 如果\(\phi\)是方程的一个解，那么\(\phi+\pi/2\)也是方程的一个解

• 椭圆偏振旋转的意义由\(sin\delta\)的符号决定

  • \(sin\delta>0\)，电场强度矢量的末端将沿顺时针方向旋转

  • \(sin\delta<0\)，电场强度矢量的末端将沿逆时针方向旋转

• 椭圆偏振的椭圆率定义

  • 当电场强度矢量是右旋时，椭圆率取正值
  • 当电场强度矢量是左旋时，椭圆率取负值
  • \(e = \pm 1\)时是圆偏振光

• 一个椭圆偏振态总可以分解为两个相互正交的分量，两个分量之间的相对相移可以处于\(-\pi\)和\(\pi\)之间的任何地方

• 在主轴坐标系中，两个正交分量的相对相移总是\(-\pi/2\)和\(\pi/2\)，这取决于旋转的方向

总结：

复数表示

• 预备知识：

  • 关于一个波的偏振态的所有信息都包含在平面波的复振幅A中：

• 定义一个复数$\chi $，描述偏振态：

  • 角\(\psi\)定义在0和2\(\pi\)之间

  • 一个椭圆偏振的完整描述包括

    • 方位
    • 旋向
    • 椭圆率

  • 复平面中不同偏振态，如下图

    • 右旋椭圆偏振态都在平面的下半部分，左旋椭圆偏振态在平面的上半部分
    • 原点对应振动方向平行于x轴的线偏振状态
    • x轴上每一点表示不同相角偏振的线偏振态，只有(0,\(\pm1\))两点对应圆偏振，复平面内其余的每一点对应一个唯一的椭圆偏振态

• 倾斜角\(\phi\)和偏振椭圆的椭圆率角\(\theta\)(\(\theta \equiv tan^{-1}e\))对于一个给定的复数\(\chi\)