阶段性小结
rt, 阶段性小结。
\({}{\mathtt{——高中数学高级而有用的结论公式}}\)
\(\text{update 5.27 :}\) 补充了一些结论及公式，修正了一些错误。
提示：本文使用了大量\(\LaTeX\)，加载时间可能较长，请耐心等待。
正文部分：
快\(Midbake\)了，毕竟上课摸了亿会鱼，当然要记下来。
不过，这些东西主要靠自己实地练习啦。
\(\text{by cks/djs, 5.21}\)
\(\rm Catalogue\)
\(\rm I\) 函数
\(\rm II\) 不等式与最值
\(\rm III\) 指数函数、对数函数
\(\rm IV\) 三角函数、解三角形
\(\rm V\) 向量
\(\rm VI\) 立体几何
\(\rm VII\) 导数
\(\rm I\) 函数
\(\mathtt{i}\) 对称和周期
| \(f(x)\)满足 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - | 关于……对称 - - - - - - - |
|---|---|
| \(f(a+x)=f(a-x)\) | \(x=a\) |
| \(f(x)=f(2a-x)\) | \(x=a\) |
| \(f(a+x)=f(b-x)\) | \(x=\dfrac{a+b}{2}\) |
| \(f(a+x)+f(a-x)=0\) | \((a,0)\) |
| \(f(x)+f(2a-x)=0\) | \((a,0)\) |
| \(f(a+x)+f(b-x)=c\) | \((\dfrac{a+b}{2},\dfrac c2)\) |
| \(f(x)\)满足- - - - - - - - - - - - - - - - - - - | 周期为------- |
|---|---|
| \(f(x)\)关于\(x=a\)和\(x=b\)对称 | \(2\lvert a-b\rvert\) |
| \(f(x)\)关于\((a,0)\)和\((b,0)\)对称 | \(2\lvert a-b\rvert\) |
| \(f(x+a)=-f(x)\)或\(f(x+a)f(x)=\pm1\) | \(2\lvert a\rvert\) |
| \(f(x+a)=\dfrac{f(x-1)}{f(x+1)}\)在\(x\in \R\)恒成立，\(a>0\) | \(4a\) |
| \(f(x+a)=\dfrac{1-f(x)}{1+f(x)},a>0\) | \(2a\) |
解析式不好用时，考虑用性质代替。
\(\mathtt{ii}\) 抽象函数赋值技巧
\(\rm 1\) 若无\(f(x)\)，先赋出\(f(x)\)
\(\rm 2\) 若有\(f(x)\)和\(f(\Delta)\)，将\(x\)赋成\(\Delta\)
\(\rm 3\) 方向不明朗，考虑赋\(x=\pm 1,0\)
\(\mathtt{iii}\) 存在与恒成立问题解题方向
\(\rm 1\) 分离参数（常规）
\(\rm 2\) 看成一个函数图像
\(\rm 3\) 看成两个函数图像的焦点
\(\rm 4\) \(\forall x_1,x_2\in A,f(\dfrac{x_1+x_2}{2})>\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\Leftrightarrow\) \(f(x)\)在\(A\)上上凸
\(\rm 5\) \(\forall x_1,x_2\in A,\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0\Leftrightarrow\) \(f(x)\)在\(A\)上是增函数
去绝对值方法：\(1\)分类讨论/\(2\)平方/\(3\)翻折变换
\(\mathtt{iv}\) 常见函数的性质
\(\rm1st\) 对钩（假）函数：形如\(f(x)=ax+\dfrac bx\)
对钩函数的图像贴近\(y=ax\)和\(y=\dfrac bx\)这两条函数图像（作图依据）。
当\(ab>0\)时，函数称为（真）对钩函数。此时函数的形状就像对钩一样。当\(a>0,b>0\)时，函数在\((0,+\infty)\) 上有最小值（唯一极小值）\(f(\sqrt{\dfrac ba})=2\sqrt {ab}\)（先减后增），在\((-\infty,0)\)上有最大值（唯一极大值）\(f(-\sqrt{\dfrac ba})=-2\sqrt{ab}\)（先增后减）。当\(a<0,b<0\)时，函数相当于\(y=-ax+\dfrac{-b}x\)关于\(y\)轴对称后的图像。
当\(ab<0\)时，函数无最大最小值。\(a>0\)时函数单增，\(a<0\)时函数单减。
\(\rm2nd\) ：形如\(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\)
处理方法：分离分子项，消去分子中的\(x\)项，转化为\(y=\dfrac{M}{x-h}+k\)的形势，当作反比例函数\(y=\dfrac Mx\)向右平移\(h\)，向上平移\(k\) 后的结果。
\(\mathtt v\) 单调性性质、奇偶性
\(f(x)\)与\(f(x)+a\)具有相同单调性；
\(f(x)\)与 \(g(x) = a·f(x)\)在 a>0 时有相同单调性，当 \(a<0\) 时，具有相反单调性；
当\(f(x),g(x)\)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则\(f(x)\cdot g(x)\)为增（减）函数；若两者都恒小于零，则为减（增）函数；
两个增函数之和仍为增函数；增函数减去减函数为增函数；两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时， 增（减）函数的倒数为减（增）函数。
复合函数单调性：“同增异减”（即单调性不同的函数组合出的复合函数为增函数，相反则为减函数）。
奇偶性：奇\(±\)奇\(=\)奇（可能为既奇又偶函数） 偶\(±\)偶\(=\)偶（可能为既奇又偶函数） 奇\(\times\)奇\(=\)偶 偶\(\times\)偶\(=\)偶 奇\(\times\)偶\(=\)奇（两函数定义域要关于原点对称）
4、对于\(F(x)=f[g(x)]\)：若\(g(x)\)偶\(f(x)\)偶，则\(F[x]\)偶。若\(g(x)\) 偶\(f(x)\)奇，则\(F[x]\)偶。若\(g(x)\)奇 \(f(x)\)奇，则\(F[x]\)奇。若\(g(x)\)奇\(f(x)\)偶，则\(F[x]\)偶。
\(\rm II\) 不等式和最值
\(\mathtt{i}\) 均值不等式：
\[\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i}}\le{}^n\sqrt{\prod_{i=1}^na_i}\le\dfrac{\sum_{i=1}^na_i}{n}\le \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^na_i^2}{n}} \]（调几算方）
二元形式：$$\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \dfrac{a+b}{2}\le \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$$
取等条件：\(a_1=a_2=...=a_n,a=b\)
对数均值不等式：
\[\forall a>b,\sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}2 \]\(\mathtt{ii}\) 柯西不等式：
\[\sum_{i=1}^na_i^2\times \sum_{i=1}^nb_i^2\ge (\sum_{i=1}^na_ib_i)^2 \]等号成立条件：\(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}\)
二元形式：\((a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd)^2\)
变形：\(ac+bd\le\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\)，成立条件\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
三角形式：\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge \sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\)
\(\mathtt{iii}\) 多变量求最值
知道式子为定值，可考虑将定值整体带入。
几何法，如\(\dfrac{y+1}{x-2},x^2+y^2\)
代数法：\(\begin{cases}a.消元\rightarrow 函数\\ b.基本不等式\\ c.主元法（把最简单的当变量）\end{cases}\)
线性规划（\(\rm ???????????????????????????????????\)）
\(\rm 1\) 还原，设\(u,v\)
\(\rm 2\) 写出\(u,v\)的关系式，画图像
\(\rm 3\) 转化为函数的交点、截距取值范围问题
解二次绝对值不等式的等价定理：
\(|a|\le |b|\Leftrightarrow a^2\le b^2\Leftrightarrow (a+b)(a-b)\le 0\)
\(\rm III\) 指数函数、对数函数
\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p},a^\frac{m}{n}={}^n\sqrt{a^m}\)
\(\log_a(M\cdot N)=\log_aM+\log_aN\)
\(\log_a\dfrac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)
\(\log_aM^x=x\log_aM\)
\(\log_ab\cdot\log_ba=1,\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac\)
\(\log_{a^n}b=\dfrac{\log_ab}{n},\log_{a^n}b^m=\dfrac{m}{n}\log_ab\)
对数恒等式：\(a^{\log_aN}=N\)
解题套路大部分同“\(\rm I\) 函数”。注意对数运算法则必须熟练掌握！
\(\rm IV\) 三角函数、解三角形
\(\mathtt{i}\) 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
\(\mathtt{ii}\) 三角恒等变换——写几个重要的，其他略。（其实是想偷懒啦）
\(\begin{cases}降次公式：\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{1}{2}\sin2\alpha,\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2},\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}\\辅助角：a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\tan^{-1}\dfrac{b}{a})\end{cases}\)
万能公式\(\begin{cases}\sin\alpha=\dfrac{2\tan\dfrac\alpha2}{1+\tan^2\dfrac\alpha2}\Rightarrow\dfrac2+\\\cos\alpha=\dfrac{1-\tan^2\dfrac\alpha2}{1+\tan^2\dfrac\alpha2}\Rightarrow\dfrac-+\\\tan\alpha=\dfrac{2\tan\dfrac\alpha2}{1-\tan^2\dfrac\alpha2}\Rightarrow\dfrac2-\end{cases}\)
\(\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\)
等等。
\(\mathtt{iii}\) 解三角形的一些公式
正弦定理：\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow\) 边化角，角化边
余弦定理：\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\Rightarrow \cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
射影定理：\(a\cos B+b\cos A=c,\;a\sin B=b\sin A\)
（内角和小结论）\(\sin C=\sin(A+B),\;\cos C=-\cos(A+B),\;\tan C=-\tan(A+B),\\\sin \dfrac A2=\cos\dfrac{B+C}{2},\;\cos \dfrac A2=\sin\dfrac{B+C}{2}\)
\(\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C\)
\(\dfrac{a^2-b^2}{c^2}=\dfrac{\sin(A-B)}{\sin C}(???)\)
\(S_{\triangle{ABC}}=\dfrac 12 ab\sin C=\dfrac{abc}{4R}=r\cdot p=2R^2\sin A\sin B\sin C\)
中线长度：\(AM=\dfrac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}\)
角平分线长度：\(AD=\dfrac{2bc}{b+c}\cos\dfrac A2\)
高线长度：\(AH=\dfrac{bc\sin A}{a}\)
\(\mathtt{iv}\) 四边形
任意给定四边长度的四边形面积公式：
\(S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2Q}\)，其中\(p=\dfrac 12(a+b+c+d),\;Q\) 为四边形一组对角和的一半
托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和等于对角线乘积
推广：任意凸四边形\(ABCD\)中，\(AC\cdot BD\le AB\cdot CD+AD\cdot BC\)
（处理三角等式时，可考虑看成组合函数，研究其单调性）
\(\mathtt{v}\) 顺带一提，三角函数的图像
对于\(f(x)=A\sin(\omega x+\phi)\)：
\(T=\dfrac{2\pi}{\omega},\;A=\dfrac D2\)
\(\rm V\) 向量
\(e_1,e_2\) 不共线， \(\lambda e_1+\mu e_2=0\Rightarrow \lambda=\mu=0\)
三点共线（定比分线）定理：
- 系数之和为\(1\)
- 系数之比等于线段之比翻过来
拓展（据此二分答案的原理？）：对于\(\triangle ABC\)所在平面内一点\(P\)，满足\(\vec{AP}=x\vec{AB}+y\vec{AC},x+y=m\)（定值），则\(P\)的轨迹是一条平行于\(BC\)的直线。延长\(AP\)交\(BC\)于\(H\)，则\(|m|=\dfrac{AP}{AH}\)
\(\vec b\)在\(\vec a\)上的投影（数量）\(=\dfrac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|}\)
\(a=(x_1,y_1),\;b=(x_2,y_2)\)
| - - - | - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - | - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - |
|---|---|---|
| 模 | \(\lvert\vec a\rvert=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}=\sqrt{\vec a^2}\) | \(a=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\) |
| 数量积 | \(\vec a\cdot\vec b=\lvert \vec a\rvert\lvert \vec b\rvert\cos\theta\) | \(\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2\) |
| 共线条件 | \(a=\lambda b\) | \(x_1y_2=x_2y_1\) |
| 垂直条件 | \(\vec a\cdot\vec b=0\) | \(x_1x_2+y_1y_2=0\) |
| 夹角 | \(\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{\lvert \vec a\rvert\lvert\vec b\rvert}\) | \(\cos\theta=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\) |
数量积方法体系：
\(\rm 1\) 定义法（投影）
\(\rm 2\) 基向量分解（最好已知模长和夹角）
\(\rm 3\) 极化恒等式：\(\vec x\cdot\vec y=\dfrac14[(\vec x+\vec y)^2-(\vec x-\vec y)^2]\) （在知道第三边时使用）
\(\rm 4\) 建系（图形规则、有特殊角）
\(\rm 5\) 运算
模长方法体系：
\(\rm 1\) 画图，几何定义法
\(\rm 2\) 平方，转化为数量积
\(\rm 3\) 建系
奔驰定理：
\(O\)为\(\triangle ABC\)所在平面内一点，满足\(x\vec{OA}+y\vec{OB}+z\vec{OC}=\vec0\)，则有\(S_{\triangle BOC}:S_{\triangle AOC}:S_{\triangle AOB}=|x|:|y|:|z|\) （若\(x,y,z\)有负数说明\(O\)在\(\triangle ABC\)外）
奔驰定理拓展：\(\begin{cases}O为重心\Leftrightarrow\vec{OC}+\vec{OA}+\vec{OB}=\vec0\\O为内心\Leftrightarrow\sin C\cdot\vec{OC}+\sin A\cdot\vec{OA}+\sin B\cdot\vec{OB}=\vec0\\O为垂心（非直角三角形）\Leftrightarrow\tan C\cdot\vec{OC}+\tan A\cdot\vec{OA}+\tan B\cdot\vec{OB}=\vec0\\O为外心\Leftrightarrow\sin2C\cdot\vec{OC}+\sin2A\cdot\vec{OA}+\sin2B\cdot\vec{OB}=\vec0\end{cases}\)
直线的向量表示：
中线： \(\lambda (\vec{AB}+\vec{AC}),\;\lambda(\dfrac{\vec{AB}}{|\vec{AB}\sin B|}+\dfrac{\vec{AC}}{|\vec{AC}\sin C|})\)
角平分线： \(\lambda (\dfrac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}+\dfrac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|})\)
高线： \(\lambda (\dfrac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|\cos B}+\dfrac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|\cos C})\)
\(O\)为\(\triangle ABC\)的外心\(\Rightarrow \vec{AO}\cdot\vec{AC}=\dfrac 12 \vec{AC}^2\)
一个特别的面积公式：若\(\vec{CA}=\vec a,\;\vec{CB}=\vec b\Rightarrow S_{\triangle ABC}=\dfrac 12\sqrt{|\vec a^2|\cdot|\vec b^2|-(\vec a\cdot\vec b)^2}=\dfrac 12|x_1y_2-x_2y_1|\)
若干小结论： \(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG},\;G(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3})\)
垂外心定理： \(\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\)
欧拉定理： \(O,G,H\)三点共线且\(OG:OH=1:2(\vec{OG}=\dfrac 13\vec{OH})\)
\(\vec{PA}\cdot\vec{PC}=\vec{PB}\cdot\vec{PD}(??????????????)\;,\vec{AC}\cdot\vec{BD}=\dfrac{AD^2+BC^2-AB^2-CD^2}{2}\)
\(\cos (\vec{AC},\vec{BD})=\dfrac{AD^2+BC^2-AB^2-CD^2}{2AC\cdot BD}(?????????????????)\)
\(\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a=\dfrac12[(\vec a+\vec b+\vec c)^2-\vec a^2-\vec b^2-\vec c^2]\)
\(\rm VI\) 立体几何
\(\mathtt{i}\) 表面积与体积公式
\(V_柱=Sh=\pi r^2h\)
\(V_{圆锥}=\dfrac13 Sh=\dfrac13 \pi r^2\sqrt{l^2-r^2}\)
\(V_{台}=\dfrac13 (S_上+S_下+\sqrt{S_上S_下})h=\dfrac13 \pi(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)h\)
\(V_球=\dfrac43\pi r^3\)
\(S_{锥侧}=\pi rl\)
\(S_{锥表}=\pi r(r+l)\)
\(S_{台侧}=\pi(r^2+r'^2+rl+rl')\)
\(S_{棱台侧}=\dfrac 12(C+C')h'\)
\(S_球=4\pi r^2\)
\(\mathtt{ii}\) 几何体与球
正方体内切球：\(2R=a\)，棱切球\(2R=\sqrt2 a\)，外接球：\(2R=\sqrt3 a\)
长方体外接球：\(l^2=a^2+b^2+c^2=4R^2\)
正四面体外接球：\(R=\dfrac{\sqrt6}{4}a\)，内切球\(R=\dfrac{\sqrt6}{12}a\)（\(O\)四等分高）
正三棱柱外接球：\(R=\sqrt{(\dfrac{h}{2})^2+(\dfrac{\sqrt3}{3}a)^2}\)
有内切球的多面体; \(V=\dfrac13 S_表r\)
正棱锥外接球：\(l^2=h\cdot d\)（射影定理）
任意四面体都内接于平行六面体，且\(V_四=\dfrac13 V_六\)
补形技巧：
三棱锥\(\rightarrow\)三棱柱、平行六面体
三组对棱分别相等的三棱锥\(\rightarrow\)长方体
直角三棱锥\(\rightarrow\)长方体，一条棱垂直于底面\(\rightarrow\)直三棱柱
正四面体\(\rightarrow\)正方体
外接球通法\(\rightarrow\)找外心
内切球通法\(\rightarrow\)体积法
棱切球通法\(\rightarrow\)作轴截面
球与旋转体：运用立体几何“垂径定理”
很多球堆叠：用球心代表球
将立体几何转平面几何
\(\rm 1\) 看三视图
\(\rm 2\) 作轴截面！
\(\rm Ex.\) 立体几何建系 \(\&\) 空间向量
（待填充...）
\(\rm VII\) 导数
\(\mathtt{i}\) 初等函数导数表、基本求导法则
| 原函数 - - - - - - - - - - | 导函数 - - - - - - - - - - |
|---|---|
| \(y=c\) | \(y'=0\) |
| \(y=x^a\) | \(y'=ax^{a-1}\) |
| \(y=a^x\) | \(y'=a^x\ln a\) |
| \(y=\log_ax\) | \(y'=\dfrac{1}{x\ln a}\) |
| \(y=\sin x\) | \(y'=\cos x\) |
| \(y=\cos x\) | \(y'=-\sin x\) |
| \(y=e^x\) | \(y'=e^x\) |
| \(y=\ln x\) | \(y'=\dfrac 1x\) |
| \(y=\sqrt x\) | \(y'=\dfrac{\sqrt x}{2x}\) |
| \(y=x\ln x\) | \(y'=1+\ln x\) |
| \(y=xe^x\) | \(y'=(x+1)e^x\) |
基本求导法则：
\([f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)\)
\([f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\Rightarrow [c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)\)
\([\dfrac{f(x)}{g(x)}]'=\dfrac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)
\([f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)\)
\(f(x)\)在\(x=x_0\)处的切线方程（点斜式）： \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)
\(\mathtt{ii}\) 确定导数正负号（极大极小值）的方法框架：
\(\rm 1\) 因式分解
\(\rm 2\) 观察（单调性、图像、式子分块\((?????????)\)）
\(\rm 3\) 放缩（隔离直线、经典不等式）
\(\rm 4\) 二次求导（注意：对数单身狗、指数找朋友、三角函数分组）
\(\rm 5\) 隐零点
\(\mathtt{iii}\) 洛必达
\(\underset{x\rightarrow 0(\infty)}{\lim}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow 0(\infty)}{\lim}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)（满足条件即可反复使用）
注意事项
\(\rm 1\) 必须是\(\dfrac00\)或\(\dfrac\infty\infty\)，否则会出错。
\(\rm 2\) 两函数相乘转化为相除
\(\rm 3\) （结论）\(x\rightarrow \infty\)时，变化快慢分等级：\(e^x>x^a>\ln x\)
\(\mathtt{iv}\) 双变量函数不等式处理方法
\(\rm 1\) 作代数变形，分离变量，转化为证明函数单调性（适用于式子整齐且易于拆分时）
\(\rm 2\) 改变式子结构，将两个变量化归为一个变量（特别注意齐次式的变比值消元法）
\(\rm 3\) 主元大法好
对数均值不等式：
\[a<\sqrt{ab}<\dfrac{b-a}{\ln b-\ln a}<\dfrac{a+b}{2}<\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\(\mathtt{v}\) 数列不等式
基本方法：比较通项
注意！比较通项时，左边有多少项，右边就只能看成前多少项的和或积。
两边都有\(n\)时，连加型：把右边看成若干项的和（拆分，如\(\ln n=\ln(n-1)+\ln\dfrac{n}{n-1}\)）
连乘型：把右边看成若干项的积，比通项（或者取\(\ln\)变连加）
在综合题中，注意利用前一问的提示，在待证不等式中放缩通项
当右侧为常数时，不能用通法，只能参考前一问不等式
\(\mathtt{vi}\) 常用函数放缩表
对数函数： \(\ln x\le x-1,\;\ln x\le\dfrac1e x,\;\ln x\le x^2-x,\;\ln x>1-\dfrac1x\)
指数函数： \(e^x\ge x+1,\;e^x\ge ex,\;e^x\ge \dfrac12 x^2+x+1,(\text{actually, }e^x\ge \sum_{i=0}^\infty \dfrac{x^i}{i!})\\e^x\le \dfrac{1}{1-x}(x<1),\;e^x<-\dfrac1x(x<0)\)
混合： \(e^x-\ln x>2\)
三角函数： \(\sin x
综合函数： \(x\ln x\ge-\dfrac1e,\;\dfrac{\ln x}{x}\le\dfrac1e,\;\dfrac{x}{\ln x}\ge e(x>1)\\xe^x\ge-\dfrac1e,\;\dfrac{e^x}{x}\ge e(x>0),\;\dfrac{x}{e^x}\le\dfrac1e\)
\(\mathtt{vii}\) 带/不带参数的函数不等式
不带参数：
\(\rm 1\) 直接作差构造函数
\(\rm 2\) 利用前一问的结论放缩（极值，切线，不等式）
\(\rm 3\) 利用经典不等式放缩
\(\rm 4\) 利用隔离直线放缩（水平、斜线）
带参数：
\(\rm 1\) 贪心，主元法（放缩参数）
\(\rm 2\) 分离参数
\(\rm 3\) 求导硬证
\(\mathtt{viii}\) 导数的零点不好怎么应对
\(\rm 1\) 骗一个，猜根（不是很推荐）
\(\rm 2\) 隐零点，设而不求整体代换使用（方向：将超越函数代换成普通函数）
\(\rm 3\) 转化，转换成零点问题
\(\mathtt{ix}\) 单变量恒成立问题四大基本方法
\(\rm 1\) 端点效应：\((?????)\)最优先考虑，在有端点时使用，将函数取端点时的情况带入导函数，作为参数分类的依据，而后分类求解
\(\rm 2\) 分离参数：相对通法，但式子过于复杂时慎用
\(\rm 3\) 作差构造函数：相对通法
\(\rm 4\) 看成两个图像：在组合函数中能分离出一次函数或各块差异过大时使用
含参零点问题方法基本同上，但没有端点效应\((1)\)
\(\mathtt{x}\) 多变量恒成立问题
\(\rm 1\) 双变量整齐不等式：分离两变量，将问题化为\(f(a)
\(\rm 2\) 任意存在混合不等式型：\(\rm i\)石磊第三讲讲义的各种结论\(\rm ii\)主元法（注意讨论顺序的选择）
\(\rm 3\) 几何意义型：上凸\(\Rightarrow f''(x)\le 0\)
\(\mathtt{xi}\) 极值点偏移方法体系
\(\rm 1\) 构造对称：构\(F(x)=f(x)-f(2x_0-x)\)，借助单调性求解。
\(\rm 2\) 对数均值不等式（并不是极其地重要）。
\(\rm 3\) 代数消元：通过列出方程的方法转换待证式子，将两根转为一根（目前理解并不是很透彻）。
\(\rm 4\) 换元法，带入构造其他函数。
\(\mathtt{xii}\) 三次函数
\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)，\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\)，令\(f'(x)\)为\(0\)。
判别式：\(\Delta=4(b^2-3ac)\)
图像：
\(a>0:\)
\(\Delta>0\)
\(\Delta<0\)
\(a<0:\)
\(\Delta>0\)
\(\Delta<0\)
极值点：\(\Delta>0\)时，函数有两个极值点\(x_1,x_2\)，\(\Delta\le 0\)时函数不存在极值点。
奇偶性：\(f(x)\)是奇函数\(\Leftrightarrow b=d=0\)
对称性：关于\((-\dfrac{b}{3a},f(-\dfrac{b}{3a}))\)中心对称。
零点问题：\(f(x)=0\)有一个实根\(\Leftrightarrow \Delta\le0\)或\(\begin{cases}\Delta>0\\f(x_1)f(x_2)>0\end{cases}\)，
\(f(x)=0\)有两个实根\(\Leftrightarrow \Delta>0,f(x_1)f(x_2)=0\)
\(f(x)=0\)有三个实根\(\Leftrightarrow\Delta>0,f(x_1)f(x_2)<0\)
切线问题：略。
\(\mathtt{xiii}\) 常用函数的性质
\(f(x)=x\ln x\) ：\(x\to0\)时\(f(x)\to 0\)，在\((0,\infty)\)上的唯一极小值点是\(x_0=\dfrac1e\)
\(f(x)=xe^x\)：\(x\to-\infty\)时\(f(x)\to0\)，全局唯一极小值点是\(x_0=-1\)
注：以上仅针对导数大题
\(\mathtt{xiv}\) 导数函数构造表——常见构造原函数类型梳理
原函数是函数的和差组合：
\(1\) 对于\(f'(x)>g'(x)\)，构\(h(x)=f(x)-g(x)\)。
\(2\) 对于\(f'(x)>a\)，构\(h(x)=f(x)-ax+b\)。
\(3\) 对于\(af'(x)+bg'(x)>0\)，构\(h(x)=af(x)+bg(x)\)。
原函数是函数乘除组合：
\(1\) 对于\(f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)>0(<0)\)，构\(h(x)=f(x)\cdot g(x)\)。
\(2\) 对于\(f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)>0(<0)\)，构\(h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\)
原函数是函数与\(x\)的乘除组合：
\(1\) 对于\(x\cdot f'(x)+f(x)>0(<0)\)，构\(h(x)=xf(x)\)
\(2\) 对于\(x\cdot f'(x)+kf(x)>0(<0)\)，构\(h(x)=x^nf(x)\)
\(3\) 对于\(x\cdot f'(x)-f(x)>0(<0)\)，构\(h(x)=\dfrac{f(x)}{x}\)
\(4\) 对于\(x\cdot f'(x)-kf(x)>0(<0)\)，构\(h(x)=\dfrac{f(x)}{x^n}\)
原函数是函数与\(e^x\) 的乘除组合：
\(1\) 对于\(f'(x)+f(x)>0(<0)\)，构\(h(x)=f(x)\cdot e^x\)
\(2\) 对于\(f'(x)+kf(x)>0(<0)\)，构\(h(x)=f(x)\cdot e^{nx}\)
\(3\) 对于\(f'(x)-f(x)>0(<0)\)，构\(h(x)=\dfrac{f(x)}{e^x}\)
\(4\) 对于\(f'(x)-kf(x)>0(<0)\)，构\(h(x)=\dfrac{f(x)}{e^{nx}}\)
原函数是函数与\(\sin x(\cos x)\)的乘除组合：
\(1\) 对于\(f(x)\sin x+f'(x)\cos x>0(<0)\)，构\(h(x)=\dfrac{f(x)}{\cos x}\)
\(2\) 对于\(f(x)\sin x-f'(x)\cos x>0(<0)\)，构\(h(x)=-f(x)\cdot\cos x\)
\(3\) 对于\(f(x)\cos x+f'(x)\sin x>0(<0)\)，构\(h(x)=f(x)\cdot\sin x\)
\(4\) 对于\(f(x)\cos x-f'(x)\sin x>0(<0)\)，构\(h(x)=\dfrac{\sin x}{f(x)}\)
对于\(\dfrac{f'(x)}{f(x)}>0(<0)\)，分类讨论：
\(1\) 若\(f(x)>0\)，构\(h(x)=\ln f(x)\)
\(2\) 若\(f(x)<0\)，构\(h(x)=\ln(-f(x))\)