幂函数同步拔高，难度1颗星！

模块导图

知识剖析

定义

一般地，形如\(y=x^α\)的函数称为幂函数，其中\(x\)是自变量，\(α\)为常数．

常见幂函数图像

性质

(1) 所有的幂函数在\((0 ,+∞ )\)都有定义，并且图象都过点\((1 ,1)\)；
(2) \(α>0\)时，幂函数的图象通过原点，并且在\([0 ,+∞ )\)上是增函数．
特别地，当\(α>1\)时，幂函数变化快，图象下凹；当\(0<α<1\)时，幂函数变化慢，图象上凸；
(3) \(α<0\)时，幂函数的图象在\((0 ,+∞ )\)上是减函数．在第一象限内，当\(x\)从右边趋向原点时，图象在\(y\)轴右方无限地逼近\(y\)轴正半轴，当\(x\)趋于+∞时，图象在\(x\)轴上方无限地逼近\(x\)轴正半轴．

经典例题

【典题1】已知幂函数\(f(x)\)过点\(\left(2, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，则 (　　)
A．\(f(x)=x^{-\frac{1}{2}}\)，且在\((0 ,+∞)\)上单调递减
B．\(f(x)=x^{-\frac{1}{2}}\)，且在\((0 ,+∞)\)单调递增
C．\(f(x)=x^{\frac{1}{2}}\)，且在\((0 ,+∞)\)上单调递减
D．\(f(x)=x^{\frac{1}{2}}\)，且在\((0 ,+∞)\)上单调递增
【解析】\(∵\)幂函数\(f(x)=x^a\)过点\(\left(2, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，
\(\therefore f(2)=2^{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，解得\(a=-\frac{1}{2}\)，
\(\therefore f(x)=x^{-\frac{1}{2}}\)，在\((0 ,+∞)\)上单调递减．
故选：\(A\)．
【点拨】利用待定系数法求解函数解析式.

【典题2】下列命题中：
①幂函数的图象都经过点\((1 ,1)\)和点\((0 ,0)\)；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当\(n=0\)时，幂函数\(y=x^n\)的图象是一条直线；
④当\(n>0\)时，幂函数\(y=x^n\)是增函数；
⑤当\(n<0\)时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小．
其中正确的是(　　)
A．①和④
B．④和⑤
C．②和③
D．②和⑤
【解析】①幂函数的图象都经过点\((1 ,1)\)，但不一定经过点\((0 ,0)\)，比如\(y=\frac{1}{x}\)，故错误；
②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确；
③当\(n=0\)时，幂函数\(y=x^n\)的图象是一条直线去除\((0 ,1)\)点，故错误；
④当\(n>0\)时，如\(y=x^2\)，幂函数\(y=x^n\)在\((0 ,+∞)\)上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错误；
⑤当\(n<0\)时，幂函数\(y=x^n\)在\((0 ,+∞)\)上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随\(x\)的值增大而减小，故正确．
故选：\(D\)．

【典题3】如图所示是函数\(y=x^{\frac{m}{n}}\)(\(m\)、\(n∈N^*\)且互质)的图象，则(　　)

A．\(m\)、\(n\)是奇数且\(\frac{m}{n}<1\)
B．\(m\)是偶数，\(n\)是奇数，且\(\frac{m}{n}>1\)
C．\(m\)是偶数，\(n\)是奇数，且\(\frac{m}{n}<1\)
D．\(m\)、\(n\)是偶数，且\(\frac{m}{n}>1\)
【解析】\(∵\)函数\(y=x^{\frac{m}{n}}\)的图象的图象关于\(y\)轴对称，
故\(n\)为奇数，\(m\)为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故\(\frac{m}{n}<1\)，
故选：\(C\).

巩固练习

1(★)已知幂函数\(f(x)\)的图象经过点\(\left(2, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，则\(f(4)\)的值为\(\underline{\quad \quad }\)．

2(★)已知\(\alpha \in\left\{-2,-1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1,2,3\right\}\)，若幂函数\(f(x)=x^α\)为奇函数，且在\((0 ,+∞)\)上递减，则\(α=\)\(\underline{\quad \quad }\)．

3(★)图中曲线是幂函数\(y=x^n\)在第一象限的图象，已知\(n\)取\(±2\),\(\pm \frac{1}{2}\)四个值，则相应于曲线\(C_1\)，\(C_2\),\(C_3\),\(C_4\)的\(n\)依次为(　　)

A．\(-2,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2\)
B．\(2, \frac{1}{2},-2,-\frac{1}{2}\)
C．\(-\frac{1}{2},-2,2, \frac{1}{2}\)
D．\(2, \frac{1}{2},-\frac{1}{2},-2\)

4(★★)已知幂函数\(y=x^{\frac{p}{q}}\)，(\(p\),\(q∈Z\))的图象如图所示，则(　　)

A．\(p\),\(q\)均为奇数，且\(\frac{p}{q}>0\)
B．\(q\)为偶数，\(p\)为奇数，且\(\frac{p}{q}<0\)
C．\(q\)为奇数，\(p\)为偶数，且\(\frac{p}{q}>0\)
D．\(q\)为奇数，\(p\)为偶数，且\(\frac{p}{q}<0\)

5(★★)已知幂函数\(f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}\)\((m∈Z)\)的图象关于原点对称，且在\((0 ,+∞)\)上是减函数，则\(m=\)(　　)
A．\(0\)
B．\(0\)或\(2\)
C．\(0\)
D．\(2\)

答案

1.\(\frac{1}{2}\)
2.\(-1\)
3.\(D\)
4.\(D\)
5.\(B\)