[日常训练]yayamao的神题
Description
\(yayamao\)是数学神犇,一天他在纸上计算起了\(1/P\), 我们知道按照模拟除法可以得到准确解,例如\(1/7=0.(142857),1/10=0.1(0)\)。\(yayamao\)发现无论他如何模拟小数都会出现循环,现在\(yayamao\)想知道循环的长度以及循环出现之前,小数点后面的未循环的数字的位数。例如\(1/15=0.0(6)\),那么它的循环长度为\(1\),小数点后面的未循环的数字的位数为\(1\);\(1/4=0.25(0)\),那么它的循环长度为\(1\),小数点后面的未循环的数字的位数为\(2\)。
Input
数据的第一行是一个整数\(T\), 表示数据组数。
接下来\(T\)组数据,每组数据的第一行是一个正整数\(P\)。
Output
对于每组数据输出\(2\)个整数\(A,B\), 分别表示循环长度以及小数点后面的未循环的数字的位数。
Sample Input
3
1
2
4
Sample Output
1 0
1 1
1 2
HINT
\(1\;\leq\;T\;\leq\;10000,1\;\leq\;P\;\leq\;2\;\times\;10^9\).
Solution
小学奥数中,一个分数如果是纯循环小数,则它的分母是\(k=999...9\)的因数(\(k\)为最小的这种形式的原分母的倍数),循环节为\(k\)的位数;
若是混循环小数,则它的分母是\(k=999...9000...0\)的因数(\(k\)为最小的这种形式的原分母的倍数),循环节为\(k\)中\(9\)的个数,小数点后不循环部分的位数为\(k\)中\(0\)的个数.
由此可见,设\(P=2^{a_1}5^{a_2}P'((P',10)=1)\),则循环部分的位数为\(max(a_1,a_2)\).
现在求循环节长度.
设\(a_i\)表示\(P'\)小数点后\(i\)位上的数,\(b_i\)表示处理第\(i-1\)位后的余数.
显然,\(b_1=1,a_1=\lfloor10\;\times\;\frac{1}{P'}\rfloor\),
\(b_i=10\;\times\;b_{i-1}\;mod\;P',a_i=\lfloor10\;\times\;\frac{b_i}{P'}\rfloor\).
当找到最小的\(p,q(p满足\(b_p=b_q\)时,答案为\(q-p\).
因为\((P',10)=1\),所以\((P',b_i)=1\).
设\(10x\;\equiv\;1(mod\;P')\),若\(p\not=1\),则\(b_{p-1}=x\;\times\;b_p\;mod\;P'=x\;\times\;b_q\;mod\;P'=b_{q-1}\).
出现了更早的重复\(b_{p-1}=b_{q-1}\),所以最早的重复在\(p=1\),所以\(\frac{1}{P'}\)为纯循环小数.
设\(y\)为最小的满足\(b_y=b_1\;\times\;10^{y-1}\;mod\;P'=b_1\)的正整数,则\(10^{y-1}\;\equiv\;1(mod\;P')\).
问题转化成了求\(10\)模\(P'\)的阶.
因为\((10,P')=1\),所以\(10^{\phi(P')}\;\equiv\;1(mod\;P')\).
枚举\(\phi(P')\)的质因数找最小质因数解即可.
#include
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#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define N 45000
using namespace std;
typedef long long ll;
ll m[N];
int f[N],p[N],k,n,x,t,cnt,tot;
bool b[N];
inline void prime(){
f[1]=1;
for(int i=2;i>1)*mul(x+1>>1)%(ll)(k);
}
inline void Aireen(){
scanf("%d",&t);
prime();m[0]=1ll;
while(t--){
scanf("%d",&k);
cnt=tot=0;
while(!(k%2)){
k>>=1;++cnt;
}
while(!(k%5)){
k/=5;++tot;
}
x=phi(k);
for(int i=1;i