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\[\begin{aligned} P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \mid B\right) &=\frac{P\left(\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}\right) B\right)}{P(B)}=\frac{P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(A_{n} B\right)\right)}{P(B)} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{P\left(A_{n} B\right)}{P(B)}=\sum_{n=1}^{\infty} P\left(A_{n} \mid B\right) \end{aligned} \]

乘法公式

(1) 若 \(P(B)>0\) , 则

\[P(A B)=P(B) P(A | B) \]

(2) 若 \(P\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n-1}\right)>0\) , 则

\[P\left(A_{1} \cdots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2} \mid A_{1}\right) P\left(A_{3} \mid A_{1} A_{2}\right) \cdots P\left(A_{n} \mid A_{1} \cdots A_{n-1}\right) \]

证明:

\[P\left(A_{1}\right) \geqslant P\left(A_{1} A_{2}\right) \geqslant \cdots \geqslant P\left(A_{1} \cdots A_{n-1}\right)>0 \]

所以上式中的条件概率均有意义,则

\[P\left(A_{1}\right) \cdot \frac{P\left(A_{1} A_{2}\right)}{P\left(A_{1}\right)} \cdot \frac{P\left(A_{1} A_{2} A_{3}\right)}{P\left(A_{1} A_{2}\right)} \cdots \frac{P\left(A_{1} \cdots A_{n}\right)}{P\left(A_{1} \cdots A_{n-1}\right)}=P\left(A_{1} \cdots A_{n}\right) \]

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(罐子模型) 设罐中有 \(b\) 个黑球, \(r\) 个红球,每次随机取出一个球，取出后将原球放回,还加进 \(c\) 个同色球和 \(d\) 个异色球.记 \(B_i\) 为“第 \(i\) 次取出的是黑球”, \(R_j\) 为“第 \(j\) 次取出的是红球”.若连续从罐中取出三个球,其中有两个红球,一个黑球.则由乘法公式我们可得

\[\begin{aligned} P\left(B_{1} R_{2} R_{3}\right) &=P\left(B_{1}\right) P\left(R_{2} \mid B_{1}\right) P\left(R_{3} \mid B_{1} R_{2}\right) \\ &=\frac{b}{b+r} \cdot \frac{r+d}{b+r+c+d} \cdot \frac{r+d+c}{b+r+2 c+2 d} \\ P\left(R_{1} B_{2} R_{3}\right) &=P\left(R_{1}\right) P\left(B_{2} \mid R_{1}\right) P\left(R_{3} \mid R_{1} B_{2}\right) \\ &=\frac{r}{b+r} \cdot \frac{b+d}{b+r+c+d} \cdot \frac{r+d+c}{b+r+2 c+2 d} \\ P\left(R_{1} R_{2} B_{3}\right)&=P\left(R_{1}\right) P\left(R_{2} \mid R_{1}\right) P\left(B_{3} \mid R_{1} R_{2}\right) \\ &=\frac{r}{b+r} \cdot \frac{r+c}{b+r+c+d} \cdot \frac{b+2 d}{b+r+2 c+2 d} \end{aligned} \]

全概率公式

设 \(B_1,,B_2,\cdots,B_n\) 为样本空间 \(\Omega\) 的一个分割,即 \(B_1,,B_2,\cdots,B_n\) 互不相容,且 \(\bigcup_{i=1}^{n} B_{i}=\Omega\) ,如果 \(P(B_i)>0 , i=1,2,\cdots,n\),则对任一事件 \(A\) 有

\[P(A)=\sum_{i=1}^{n} P\left(B_{i}\right) P\left(A \mid B_{i}\right) \]

证明:

因为

\[A=A \Omega=A\left(\bigcup_{i=1}^{n} B_{i}\right)=\bigcup_{i=1}^{n}\left(A B_{i}\right) \]

且 \(AB_1,AB_2,\cdots ,AB_n\) 互不相容,所以由可加性得

\[P(A)=P\left(\bigcup_{i=1}^{n}\left(A B_{i}\right)\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A B_{i}\right) \]

再将

\[P\left(A B_{i}\right)=P\left(B_{i}\right) P\left(A \mid B_{i}\right), i=1,2, \cdots, n \]

代入上式即得.

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保险公司认为某险种的投保人可以分成两类:一类为容易出事故者,另一类为安全者.统计表明:一个易出事故者在一年内发生事故的概率为 \(0.4\) ,而安全者这个概率则减少为 \(0.1\) .若假定第一类人占此险种投保人的比例为 \(20\%\) .现有一个新的投保人来投保此险种,问该投保人在购买保单后一年内将出事故的概率有多大?

解: 记 \(A=\)“投保人在一年内出事故”, \(B=\)“投保人为第一类人”,则 \(B=\)“投保人为第二类人”,且 \(P(\overline{B})= 0.8\) .由全概率公式得

\[\begin{aligned} P(A) &=P(B) P(A \mid B)+P(\overline{B}) P(A \mid \overline{B}) \\ &=0.2 \times 0.4+0.8 \times 0.1=0.16 \end{aligned} \]

贝叶斯公式

设 \(B_1,,B_2,\cdots,B_n\) 为样本空间 \(\Omega\) 的一个分割,即 \(B_1,,B_2,\cdots,B_n\) 互不相容,且 \(\bigcup_{i=1}^{n} B_{i}=\Omega\) ,如果 \(P(A)>0,P(B_i)>0 , i=1,2,\cdots,n\),则

\[P\left(B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(B_{i}\right) P\left(A \mid B_{i}\right)}{\sum\limits_{j=1}^{n} P\left(B_{j}\right) P\left(A \mid B_{j}\right)}, \quad i=1,2, \cdots, n \]

证明:

由条件概率的定义

\[P\left(B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(A B_{i}\right)}{P(A)} \]

对上式的分子用乘法公式,分母用全概率公式,

\[\begin{align} P\left(A B_{i}\right)=P\left(B_{i}\right) P\left(A \mid B_{i}\right) \\ P(A)=\sum_{j=1}^{n} P\left(B_{j}\right) P\left(A \mid B_{j}\right) \end{align} \]

即得

\[P\left(B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(B_{i}\right) P\left(A \mid B_{i}\right)}{\sum\limits_{j=1}^{n} P\left(B_{j}\right) P\left(A \mid B_{j}\right)} \]

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某地区居民的肝癌发病率为 \(0.000 4\) ,现用甲胎蛋白法进行普查.医学研究表明,化验结果是存有错误的.已知患有肝癌的人其化验结果 \(99\%\) 呈阳性(有病),而没患肝癌的人其化验结果 \(99.9\%\) 呈阴性(无病).现某人的检查结果呈阳性,问他真的患肝癌的概率是多少?

解: 记 \(B\) 为事件“被检查者患有肝癌”, \(A\) 为事件“检查结果呈阳性”.由题设知

\[\begin{array}{c} P(B)=0.0004 \quad P(\overline{B})=0.9996 \\ P(A \mid B)=0.99 \quad P(A \mid \overline{B})=0.001 \end{array} \]

我们现在的目的是求 \(P(B\mid{A})\) ,由贝叶斯公式得

\[\begin{aligned} P(B \mid A) &=\frac{P(B) P(A \mid B)}{P(B) P(A \mid B)+P(\overline{B}) P(A \mid \overline{B})} \\ &=\frac{0.0004 \times 0.99}{0.0004 \times 0.99+0.9996 \times 0.001}=0.284 \end{aligned} \]