高等代数：4 矩阵的运算
4 矩阵的运算
4.1 矩阵的运算
1、数域K上两个矩阵称为相等，如果它们的行数相等，列数也相等，并且它们的所有元素对应相等。
2、定义1：设\(A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\)都是数域K上\(s \times n\)矩阵，令
\[C=(a_{ij}+b_{ij})_{s \times n}, \]则称矩阵C是矩阵A与B的和，记作\(C=A+B\)。
3、定义2：设\(A=(a_{ij})\)是数域K上\(s \times n\)矩阵，\(k\in K\)，令
\[M=(ka_{ij})_{s \times n}, \]则称矩阵M是k与矩阵A的数量乘积，记作\(M=kA\)。
4、设\(A=(a_{ij})\)，矩阵\((-a_{ij})\)称为A的负矩阵，记作—A。容易验证，矩阵的加法与数量乘法运算满足类似于n维向量的加法与数量乘法所满足的8条运算法则。并可由负矩阵概念定义矩阵减法运算。
5、定义3：设\(A=(a_{ij})_{s \times n}\)，\(B=(b_{ij})_{n \times m}\)，令
\[C=(c_{ij})_{s \times m}, \]其中
\[c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}\, ,\, i=1,2,\dots,s;j=1,2,\dots,m. \]则称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记作\(C=AB\)。
注：
（1）只有左矩阵的列数与右矩阵的行数相同的两个矩阵才能相乘；
（2）乘积矩阵的\((i,j)\)元等于左矩阵的第\(i\)行与右矩阵的第\(j\)列的对应元素的乘积之和；
（3）乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数。
6、对于\(AB=0\)，若\(B\not=0\)，则称A是一个左零因子，若\(A\not=0\)，则称B是是一个右零因子，左零因子和右零因子统称为零因子。显然，零矩阵是零因子，称为平凡的零因子。
7、矩阵的乘法适合结合律和左右分配律。另与数量乘法一起满足：\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)。
8、主对角线上元素都是1，其余元素为0的n级矩阵称为n级单位矩阵，记作\(I_n\),或简记\(I\)。\(kI\)称为数量矩阵。
9、若\(AB=BA\)，则称A与B可交换。数量矩阵与任一同级矩阵可交换。
10、由于矩阵的乘法适合结合律，因此可定义n级矩阵A的非负整数次幂：
\[\begin{aligned} &A^m\xlongequal{\text{def}}A\cdot A\cdot \ldots\cdot A,\,m\in Z^+;\\ &A^0\xlongequal{\text{def}}I. \end{aligned} \]容易看出，对于任意自然数\(k,l\)有：
\[A^kA^l=A^{k+l},\,(A^k)^l=A^{kl}. \]注：由于矩阵乘法不满足交换律，故一般来说，\((AB)^k\not=A^kB^k\)。
11、对于矩阵转置有：
\[\begin{aligned} (1)\qquad&(A+B)'=A'+B';\\ (2)\qquad&(kA)'=kA';\\ (3)\qquad&(AB)'=B'A'. \end{aligned} \]4.2 特殊矩阵
1、对角矩阵
定义1：主对角线以外的元素全为0的方阵称为对角矩阵，简记作：\(diag\{d_1,d_2,\dots,d_n\}\)。
命题1：用一个对角矩阵左（右）乘一个矩阵A，就相当于用对角矩阵的主对角元分别去乘A的相应的行（列）。
2、基本矩阵
定义2：只有一个元素是1，其余元素全为0的矩阵称为基本矩阵。\((i,j)\)元为1的基本矩阵记作\(E_{ij}\)。故：
\[A=(a_{ij})_{s \times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & ... & a_{sn} \end{bmatrix}=a_{11}E_{11}+a_{12}E_{12}+\dots+a_{sn}E_{sn}=\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^n a_{ij}E_{ij}. \]命题2：用\(E_{ij}\)左乘一个矩阵A，就相当于把A的第j行搬到第i行的位置，而乘积矩阵的其余行全为零行；用\(E_{ij}\)右乘一个矩阵A，就相当于把A的第j列搬到第i列的位置，而乘积矩阵的其余列全为零列。故：
\[\begin{aligned} &E_{ij}E_{kl}= \begin{cases} E_{il}&当k=j; \\ 0&当k\not=j. \end{cases} \\ &E_{ij}AE_{kl}=a_{jk}E_{il}. \end{aligned} \]3、上（下）三角矩阵
定义3：主对角线下（上）方元素全为0的方阵称为上（下）三角矩阵。
A为上三角矩阵的充分必要条件：
\[a_{ij}=0,当i>j.\, A=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}E_{ij}. \]命题3：两个n级上三角矩阵A与B的乘积仍为上三角矩阵，并且AB的主对角线元素等于A与B的相应主对角元的乘积。两个n级下三角矩阵A与B的乘积仍为下三角矩阵，并且AB的主对角线元素等于A与B的相应主对角元的乘积。
4、初等矩阵
定义4：由单位矩阵经过一次初等行（列）变换得到的矩阵称为初等矩阵。容易得出，初等矩阵只有下面三种类型：
\[\begin{aligned} &I\xrightarrow{(j)+(i)\cdot k}P(j,i(k)),\\ &I\xrightarrow{(i,j)}P(i,j),\\ &I\xrightarrow{(i)\cdot c}P(i(c)),\, c\not=0; \end{aligned} \]设A是一个\(s \times n\)矩阵，它的行向量组是\(\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_s\)；列向量组是\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\)。则
\[\begin{aligned} &P(j,i(k))A=\begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ &\ddots& & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & &\vdots&\ddots& & & \\ & & k &\dots &1 & & \\ & & & & &\ddots& \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \vdots \\ \gamma_s \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_i \\ \vdots \\ k\gamma_i+\gamma_j \\ \vdots \\ \gamma_s \end{bmatrix} ,\\ &AP(j,i(k))=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)\begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ &\ddots& & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & &\vdots&\ddots& & & \\ & & k &\dots &1 & & \\ & & & & &\ddots& \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix}=(\alpha_1,\dots,\alpha_i+k\alpha_j,\dots,\alpha_j,\dots,\alpha_n) \end{aligned} \]由上诉看出：
\[\begin{aligned} &用P(j,i(k))左乘A，就相当于把A的第i行的k倍加到第j行上，其余行不变；\\ &用P(j,i(k))右乘A，就相当于把A的第j列的k倍加到第i列上，其余列不变；\\ &用P(i,j)左（右）乘A，就相当于把A的第i行（列）与第j行（列）互换，其余行（列）不变；\\ &用P(i(c))(c\not=0)左（右）乘A，就相当于用c乘A的第i行（列），其余行（列）不变。 \end{aligned} \]定理1：用初等矩阵左（右）乘一个矩阵A，就相当于A作了一次相应的初等行（列）变换。
5、对称矩阵
定义5：一个矩阵A如果满足\(A'=A\)，那么称A是对称矩阵。
命题4：设A、B都是数域K上的n级对称矩阵，则\(A+B，kA(k\in K)\)都是对称矩阵。
命题5：设A、B都是数域K上的n级对称矩阵，则AB为对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换。
6、斜对称矩阵
定义6：一个矩阵A如果满足\(A'=-A\)，那么称A是斜对称矩阵。
命题6：数域K上奇数级斜对称矩阵的行列式等于0。
4.3 矩阵乘积的秩与行列式
1、定理1：设\(A=(a_{ij})_{s \times n},B=(b_{ij})_{n \times m}，则：rank(AB)\leqslant min\{rank(A),rank(B)\}.\)
2、定理2：设\(A=(a_{ij})_{n \times n},B=(b_{ij})_{n \times n}，则：|AB|=|A||B|.\)
3、定理3（Binet-Cauchy公式）：\(A=(a_{ij})_{s \times n},B=(b_{ij})_{n \times s}，\)
\[\begin{aligned} &(1)如果s>n，那么|AB|=0；\\ &(2)如果s\leqslant n，那么|AB|等于A的所有s阶子式与B的相应s阶子式的乘积之和，即\\ &|AB|=\sum_{1\leqslant v_14、命题1：设\(A=(a_{ij})_{s \times n},B=(b_{ij})_{n \times s}，设正整数r\leqslant s\)，
\[\begin{aligned} &(1)如果r>n，那么AB的所有r阶子式都等于0；\\ &(2)如果r\leqslant n，那么AB的任一r阶子式为\\ &AB\begin{pmatrix} i_1,i_2,\dots,i_r \\ j_1,j_2,\dots,j_r \end{pmatrix}=\sum_{1\leqslant v_15、矩阵A的一个子式如果行指标与列指标相同，那么称它为A的一个主子式。
4.4 可逆矩阵
1、定义1：对于数域K上矩阵A，如果存在数域K上矩阵B，使得
\[AB=BA=I \tag{1} \]那么称A是可逆矩阵（或非奇异矩阵）。
2、定义2：如果A是可逆矩阵，那么适合（1）式的矩阵B称为A的逆矩阵，记作\(A^{-1}\)。\(A^{-1}\)是唯一的。
3、定理1：数域K上n级矩阵A可逆的充分必要条件是\(|A|\not=0\)。当A可逆时，
\[A^{-1}=\frac 1 {|A|} A^*. \tag{2} \]称\(A^{*}\)为A的伴随矩阵。满足\(AA^{*}=A^{*}A=|A|I\)。
数域K上n级矩阵A可逆的充分必要条件汇总：
\[\begin{aligned} &数域K上n级矩阵A可逆 \\ \iff&|A|\not=0\\ \iff&A为满秩矩阵\\ \iff&A的行（列）向量组线性无关 \\ \iff&A的行（列）向量组为K^{n}的一个基\\ \iff&A的行（列）空间等于K^{n}\\ \iff&A可以表示成一些初等矩阵的乘积。 \end{aligned} \]命题1：设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果\(AB=I\)，那么A与B都是可逆矩阵，并且\(A^{-1}=B,B^{-1}=A\)。
4、可逆矩阵的性质：
\[\begin{aligned} &性质1：单位矩阵I可逆，且I^{-1}=I。\\ &性质2：如果A可逆，那么A^{-1}也可逆，且(A^{-1})^{-1}=A。\\ &性质3：如果n级矩阵A、B都可逆，那么AB也可逆，并且(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}。推广：(A_1A_2\dots A_s)^{-1}=A_s^{-1}\dots A_2^{-1}A_1^{-1}。\\ &性质4：如果A可逆，那么A'也可逆，并且(A')^{-1}=(A^{-1})'。\\ &性质5：可逆矩阵经过初等行变换化成的简化行阶梯形矩阵一定是单位矩阵。\\ &性质6：矩阵A可逆的充分必要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积。\\ &性质7：用一个可逆矩阵左（右）乘一个矩阵A，不改变A的秩。 \end{aligned} \]5、初等变换法求逆矩阵：
\[(A,I)\xrightarrow{\text{初等行变换}}(I,A^{-1}) \]4.5 矩阵的分块
1、对于分块矩阵\(A=\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4 \end{bmatrix},A'=\begin{bmatrix}A_1'&A_3'\\A_2'&A_4' \end{bmatrix}\)。
2、分块矩阵相乘需满足下列条件：
\[\begin{aligned} &(1)左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数；\\ &(2)左矩阵每个列组所含列数等于右矩阵相应行组所含行数。 \end{aligned} \]3、命题1：\(设A是s \times n矩阵，B是n \times m矩阵，B的列向量组为\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m。则\)
\[AB=A(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m)=(A\beta_1,A\beta_2,\dots,A\beta_m). \]推论1：\(设A_{s \times n}\not=0,B_{n \times m}的列向量组是\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m。则\)
\[AB=\bold 0\iff\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m 都是齐次线性方程组AX=\bold 0的解。 \]推论2：\(设A_{s \times n}\not=0,B_{n \times m}的列向量组是\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m;C_{s \times m}的列向量组是\delta_1,\delta_2,\dots,\delta_m。则\)
\[AB=C\iff\beta_i是线性方程组AX=\delta_i的一个解，i=1,2,\dots,m. \]4、分块矩阵的初等行变换：
\[\begin{aligned} &(1)把一个块行的左P倍（P是矩阵）加到另一个块行上，如\\ &\qquad \begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4 \end{bmatrix}\xrightarrow{(2)+P\cdot (1)} \begin{bmatrix}A_1&A_2\\PA_1+A_3&PA_2+A_4 \end{bmatrix};\\ &(2)互换两个块行的位置；\\ &(3)用一个可逆矩阵左乘某一块行（为的是可以把所得到的分块矩阵变回原来的分块矩阵）。 \end{aligned} \]类似的有分块矩阵的初等列变换。
把单位矩阵分块，并经过一次分块矩阵的初等行（列）变换得到的矩阵称为分块初等矩阵。
5、分块对角矩阵：\(diag\{A_1,A_2,\dots,A_s\},其中A_i是方阵,i=1,2,\dots,s.\)
6、分块上（下）三角矩阵：主对角线上子矩阵都是方阵，而位于主对角线上（下）方的所有矩阵都为0。
性质：\(\begin{vmatrix} A&0\\C&B\end{vmatrix}=|A||B|.\)
7、命题2：\(设A、B分别是s \times n、n \times s矩阵，则\)
\[\begin{aligned} &(1)\begin{vmatrix} I_n&B\\ A&I_s\end{vmatrix}=|I_s-AB|;\\ &(2)\begin{vmatrix} I_n&B\\ A&I_s\end{vmatrix}=|I_n-BA|;\\ &(3)|I_s-AB|=|I_n-BA|. \end{aligned} \]8、命题3：\(设A=\begin{bmatrix}A_1&A_3\\0&A_2 \end{bmatrix}，其中A_1，A_2都是方阵。则A可逆当且仅当A_1，A_2都可逆，此时\)
\[A^{-1}=\begin{bmatrix}A_1^{-1}&-A_1^{-1}A_3A_2^{-1}\\0&A_2^{-1} \end{bmatrix}. \]4.6 正交矩阵\(\cdot\)欧几里得空间\(R^n\)
1、定义1：实数域上的n级矩阵A如果满足：\(AA'=I\)，那么称A是正交矩阵。
命题1：实数域上的n级矩阵A是正交矩阵
\[\begin{aligned} &\iff AA'=I\\ &\iff A可逆，且A^{-1}=A'\\ &\iff A'A=I \end{aligned} \]正交矩阵具有下列性质：
\[\begin{aligned} &(1)I是正交矩阵；\\ &(2)若A和B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；\\ &(3)若A是正交矩阵，则A^{-1}（即A'）也是正交矩阵；\\ &(4)若A是正交矩阵，则|A|=1或-1。 \end{aligned} \]命题2：设实数域上n级矩阵A的行向量组为\(\gamma_1,\dots,\gamma_n\)；列向量组为\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)。则
\[\begin{aligned} &(1)A为正交矩阵当且仅当A的行向量组满足：\gamma_i\gamma_j'=\begin{cases}1,\qquad 当i=j,\\0,\qquad 当i\not=j;\end{cases}\\ &(1)A为正交矩阵当且仅当A的列向量组满足：\alpha_i'\alpha_j=\begin{cases}1,\qquad 当i=j,\\0,\qquad 当i\not=j.\end{cases} \end{aligned} \]引用Kronecker记号\(\delta_{ij},\delta_{ij}=\begin{cases}1,\qquad 当i=j,\\0,\qquad 当i\not=j.\end{cases}\)。故命题2可简记为：
\[\begin{aligned} &(1)\gamma_i\gamma_j'=\delta_{ij},1\leqslant i,j\leqslant n; \\ &(2)\alpha_i'\alpha_j=\delta_{ij},1\leqslant i,j\leqslant n; \end{aligned} \]2、定义2：\(在R^n中，任给\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\dots,b_n)，规定\)
\[(\alpha,\beta)\xlongequal{\text{def}}a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n,\tag{1} \]这个二元实值函数\((\alpha,\beta)称为R^n\)的一个内积（通常也称为标准内积）。（1）式可写为\((\alpha,\beta)=\alpha\beta'\).
可验证\(R^n\)的标准内积具有以下性质：
\[\begin{aligned} &(1)(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)，对称性\\ &(2)(\alpha+\gamma,\beta)=(\alpha,\beta)+(\gamma,\beta)，线性性1\\ &(3)(k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)，线性性2\\ &(4)(\alpha,\alpha)\geqslant 0，等号成立当且仅当\alpha=\bold 0。（正定性） \end{aligned} \]定义了内积之后，n维向量空间\(R^n\)就被称为一个欧几里得空间。
在欧几里得空间\(R^n\)中规定向量\(\alpha 的长度：|\alpha|\xlongequal{\text{def}}\sqrt{(\alpha,\alpha)}.\)
长度为1的向量称为单位向量，把非零向量\(\alpha\)乘以\(\frac 1 {|\alpha|}\)称为把\(\alpha\)单位化。
如果\((\alpha,\beta)=0\)，那么称\(\alpha与\beta\)是正交的，记作\(\alpha \bot \beta\)。非零向量组成的向量组如果向量两两正交，则称为正交向量组。类似可定义正交单位向量组。
命题3：欧几里得空间\(R^n\)中，正交向量组一定是线性无关的。
根据命题3得，欧几里得空间\(R^n\) 中，n个向量组成的正交向量组一定是\(R^n\)的一个基，称它为正交基。n个单位向量组成的向量组称为标准正交基。
命题4：实数域上n级矩阵A是正交矩阵的充分必要条件为：A的行（列）向量组是欧几里得空间\(R^n\)的一个标准正交基。
3、定理1：\(设\alpha_1,\dots,\alpha_s是欧几里得空间R^n中一个线性无关的向量组，令\)
\[\begin{aligned} &\beta_1=\alpha_1\\ &\beta_2=\alpha_2-\frac {(\alpha_2,\beta_1)} {(\beta_1,\beta_1)} \beta_1,\\ &\dots\\ &\beta_s=\alpha_s-\sum_{j=1}^{s-1} \frac {(\alpha_s,\beta_j)} {(\beta_j,\beta_j)} \beta_j, \end{aligned}\tag{2} \]\(则\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s是正交向量组，并且\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s与\alpha_1,\dots,\alpha_s等价。\)
定理1称为施密特（Schmidt）正交化过程。只要再进行单位化，就能得到正交单位向量组，即\(R^n\)的标准正交基。
4.7 从\(K^n到K^s\)的线性映射
1、定义1：设\(S和S'\)是两个集合，如果存在一个对应法则\(f\)，使得集合\(S\)中每一个元素a，都有集合\(S'\)中唯一确定的元素b与之对应，那么称\(f\)是集合\(S\)到\(S'\)的一个映射，记作
\[\begin{aligned} f:&S\rightarrow S'\\&a\mapsto b, \end{aligned} \]其中，b称为a在\(f\)下的象，a称为b在\(f\)下的一个原象。b在\(f\)下的原象集记作\(f^{-1}(b)。\)a在\(f\)下的象用符号\(f(a)\)或\(fa\)表示，于是映射\(f\)也可以记成
\[f(a)=b,a\in S \]2、设\(f\)是集合S到集合S'的一个映射，则把S叫做映射\(f\)的定义域，把S'叫做\(f\)的陪域。S的所有元素在\(f\)下的象组成的集合叫做\(f\)的值域或\(f\)的象，记作\(f(S)\)或Im\(f\)。即
\[f(S)=\text{Im}f\xlongequal{\text{def}}\{f(a)\,|\,a\in S\}=\{b\in S'\,|\,存在a\in S使f(a)=b\}. \]3、设\(f\)是集合S到集合S'的一个映射，如果\(f(S)=S'\)，那么称\(f\)是满射（或\(f\)是S到S'上的映射）。\(f\)是满射当且仅当\(f\)的陪域中每一个元素都有至少一个原象。
如果映射\(f\)的定义域S中不同的元素的象也不同，那么称\(f\)是单射（或\(f\)是一对一映射）。\(f\)是单射当且仅当从\(a_1,a_2\in S\)且\(f(a_1)=f(a_2)\)可以推出\(a_1=a_2。\)
如果映射\(f\)既是单射，又是满射，那么称\(f\)是双射（或\(f\)是S到S'的一个一一对应）。\(f\)是双射当且仅当陪域中每一个元素都有唯一的一个原象。
映射\(f\)与映射\(g\)称为相等，如果他们的定义域相等，陪域相等，并且对应法则相同。（\(即\forall x\in S,有f(x)=g(x)\)）。
集合S到自身的一个映射，通常称为S上的一个变换。
4、定义2：映射\(f:S\rightarrow S\)，如果把S中每一个元素对应到它自身，即\(\forall x\in S,有f(x)=x\)，那么称\(f\)是恒等映射（或S上的恒等变换），记作：\(1_s\)。
5、定义3：相继施行映射\(g:S\rightarrow S'和f:S'\rightarrow S''，得到S到S''\)的一个映射，称为\(f与g\)的乘积（或合成），记作\(fg\)。即
\[(fg)(a)\xlongequal{\text{def}}f(g(a)),\forall a\in S. \]定理1：映射的乘法适合结合律。即如果\(h:S\rightarrow S',g:S'\rightarrow S'',f:S''\rightarrow S'''\)，那么\(f(gh)=(fg)h.\)
注意映射的乘法不适合交换律，但对于\(f:S\rightarrow S',有f1_s=1_sf=f.\)
6、定义4：设\(f:S\rightarrow S'\)，如果存在一个映射\(g:S'\rightarrow S使得fg=gf=1_s\)，那么称映射\(f\)是可逆的，此时称\(g是f\)的一个逆映射。
定理2：映射\(f:S\rightarrow S'\)是可逆的充分必要条件为\(f\)是双射。
7、定义5：数域K上的向量空间\(K^n 到K^s\)的一个映射\(\sigma\)如果保持加法和数量乘法，即\(\forall \alpha,\beta \in K^n,k\in K\)，有
\[\begin{aligned} \sigma(\alpha+\beta)&=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta),\\ \sigma(k\alpha)&=k\sigma(\alpha), \end{aligned} \]那么称\(\sigma是K^n 到K^s\)的一个线性映射。
设A是数域K上\(s \times n\)矩阵，令
\[\begin{aligned} A:&K^n\rightarrow K^s\\&\alpha\mapsto A\alpha, \end{aligned}\tag{1} \]则容易验证A是\(\sigma是K^n 到K^s\)的一个线性映射。
事实1：数域K上n元线性方程组\(AX=\beta\)有解
\[\begin{aligned} \iff&存在\gamma \in K^n,使得A\gamma=\beta\\ \iff&存在\gamma \in K^n,使得A(\gamma)=\beta\\ \iff&\beta \in \text{Im}A. \end{aligned} \]事实2：设数域K上\(s \times n\)矩阵A的列向量组是\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)，则
\[\begin{aligned} &\beta\in \text{Im}A\\ \iff&线性方程组AX=\beta有解\\ \iff&\beta \in <\alpha_1,\dots,\alpha_n>. \end{aligned} \]因此\(\qquad \text{Im}A=<\alpha_1,\dots,\alpha_n>\)
即，由（1）式定义的映射A的象（值域）等于矩阵A的列空间，从而Im\(A\)是\(K^s\)的一个子空间。
事实3：设数域K上齐次线性方程组\(AX=\bold 0\)的解空间是W，则
\[\eta \in W \iff A\eta=\bold 0 \iff A(\eta)=\bold 0. \]8、定义6：设\(\sigma 是K^n到K^s\)的一个映射，\(K^n\)的一个子集\(\{\alpha \in K^n|\sigma(\alpha)=\bold 0\}\)称为\(\sigma\)的核，记作：Ker \(\sigma\)
容易验证Ker \(\sigma\)是\(K^n\)的一个子空间。
由（1）式定义的线性映射A的核等于齐次线性方程组\(AX=\bold 0\)的解空间。即：Ker \(\sigma=W\)
综上，有：
\[dim \,\text{Ker}\,A+dim\,\text{Im}\,A=dim\,K^n. \]