CF185B Mushroom Scientists

题意

给定 \(a,b,c,S~(a,b,c,S\in Z)\)，求 \(x^ay^bz^c~(x+y+z\le S)\) 最大值。

\(0\le a,b,c,S\le 10^6\)。

题解

让分母与次幂相同，然后就可以多元不等式！

\[x^ay^bz^c=a^ab^bc^c\cdot(\frac{x}{a})^a(\frac{y}{b})^b(\frac{z}{c})^c \]

需要把 \(x+y+z\) 凑出来。

\[a^ab^bc^c\cdot(\frac{x}{a})^a(\frac{y}{b})^b(\frac{z}{c})^c\le a^ab^bc^c\cdot\frac{a\cdot\frac{x}{a}+b\cdot\frac{y}{b}+c\cdot\frac{y}{z}}{a+b+c} \\ =a^ab^bc^c\cdot \frac{S}{a+b+c} \]

取等：

\[\left\{ \begin{aligned} \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} \\\\ x+y+z=S \end{aligned} \right. \\\\ \ \]

设 \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\)，然后就可以推出：

\[\\\\ \Rightarrow\left\{ \begin{aligned} x=\frac{a\cdot S}{a+b+c} \\ y=\frac{b\cdot S}{a+b+c} \\ z=\frac{c\cdot S}{a+b+c} \end{aligned} \right. \]

令人震惊的是 Afterglow. 直接猜出了这个结论，\(orz\)。