HDU6706 huntian oy(2019年CCPC网络赛+杜教筛)

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思路

看到这题还比较懵逼，然后机房大佬板子里面刚好有这个公式\(gcd(a^n-b^n,a^m-b^m)=a^{gcd(n,m)}-b^{gcd(n,m)}\)，然后自己随手推了一下就过了。

在知道上面那个公式后化简如下：

\[\begin{aligned} &\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{i}(i-j)[gcd(i,j)=1]&\\ =&\sum\limits_{i=1}^{n}(i\phi(i)-\sum\limits_{j=1}^{i}j[gcd(i,j)=1]&\\ =&\sum\limits_{i=1}^{n}i\phi(i)-\frac{i\phi(i)}{2}&\\ =&\frac{1}{2}(\sum\limits_{i=1}^{n}i\phi(i)-1)& \end{aligned} \]

第一步到第二步是算\(i\)的贡献，第二步到第三步是小于\(i\)且与\(i\)互质的数的和。

然后我们可以用杜教筛来求解这个东西，杜教筛推导过程可以看。

代码

#include 
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#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair pLL;
typedef pair pLi;
typedef pair pil;;
typedef pair pii;
typedef unsigned long long uLL;

#define lson (rt<<1),L,mid
#define rson (rt<<1|1),mid + 1,R
#define lowbit(x) x&(-x)
#define name2str(name) (#name)
#define bug printf("*********\n")
#define debug(x) cout<<#x"=["< dp;

LL qpow(LL x, int n) {
    LL res = 1;
    while(n) {
        if(n & 1) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

void init() {
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn; ++i) {
        if(!v[i]) {
            p[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 0; j < cnt && i * p[j] < maxn; ++j) {
            v[i*p[j]] = 1;
            if(i % p[j] == 0) {
                phi[i*p[j]] = phi[i] * p[j];
                break;
            }
            phi[i*p[j]] = phi[i] * (p[j] - 1);
        }
    }
    for(int i = 1; i < maxn; ++i) sum[i] = (sum[i-1] + 1LL * i * phi[i] % mod) % mod;
}

LL dfs(int x) {
    if(x < maxn) return sum[x];
    if(dp.count(x)) return dp[x];
    LL ans = 1LL * x * (x + 1) % mod * (2LL * x % mod + 1) % mod * inv % mod;
    for(int l = 2, r; l <= x; l = r + 1) {
        r = x / (x / l);
        LL tmp = 1LL * (r - l + 1) * (l + r) / 2;
        tmp %= mod;
        ans = ((ans - 1LL * tmp % mod * dfs(x / l) % mod) % mod + mod) % mod;
    }
    return dp[x] = ans;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    FIN;
#endif
    init();
    inv = qpow(6, mod - 2);
    inv2 = qpow(2, mod - 2);
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        scanf("%d%d%d", &n, &a, &b);
        LL tmp = dfs(n);
        printf("%lld\n", (dfs(n) - 1 + mod) % mod * inv2 % mod);
    }
    return 0;
}
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