二进制小数及 IEEE 浮点表示

1、二进制小数

　　前面这篇博客 进制间的转换  我们已经讲过了各个进制数的表示。现在我们复习一下：　　

　　进位计数制的要素：

　　　　①、数码：用来表示进制数的元素。比如二进制数的数码为：0,1。十进制数的数码为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。十六进制数的数码为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A,B,C,D,E,F

　　　　②、基数：数码的个数。比如二进制数的基数为2。十进制数的基数为10。十六进制数的基数为 16.

　　　　③、位权：数制中每一固定位置对应的单位值称为位权。例如十进制第2位的位权为10¹即10，第3位的位权为10²即100；而二进制第1位的位权为2⁰即1，第3位的位权为4，对于 N进制数，整数部分第 i位的位权为N^(i-1)，而小数部分第j位的位权为N^-j。

　　那么我们可以说：每个数码所表示的数值=该数码值 * 所处位置的位权。

　　比如十进制数：(123.45)₁₀＝1×10²+2×10¹+3×10⁰+4×10^-1+5×10^-2

　　　　二进制数：(1010)₂ =l× 2³+0 × 2²+l× 2¹+0 × 2⁰=(10)₁₀

　　　　十六进制数：(BAD)₁₆ =11× 16²+10×16¹+13×16⁰=(2989)₁₀

 　　二进制小数（10010.1110）₂ = 1 * 2⁴ + 0 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2⁰ + 1 * 2^-1 + 1 * 2^-2 + 1 * 2^-3 +  0 * 2^-4 = 16 + 2 + 1/2 + 1/4 + 1/8 

 　　总结来说

　　　　十进制表示公式：

　　　　对于一个形式为b_m....b₀.b_-1....b_-n的二进制小数b来说，二进制表示公式：

　　从上面的二进制公式我们可以看出，小数点向左移动一位，则相当于 （∑ 2ⁱ * b_i）/2。因为每一位的位权都*2^-1；反过来，小数点向右移动一位，则相当于该数乘以2。

　　注意：二进制小数不像整数一样，只要位数足够，它就可以表示所有整数。假设我们仅考虑有限长度的编码，那么二进制小数无法精确的表示任意小数，比如十进制小数0.2，我们并不能将其准确的表示为一个二进制数，只能增加二进制长度提高表示的精度。

2、IEEE 浮点表示

 　　IEEE，电气和电子工程师协会( 全称是Institute of Electrical and Electronics Engineers)是一个国际性的电子技术与信息科学工程师的协会，是目前全球最大的非营利性专业技术学会，IEEE 754 标准是IEEE二进位浮点数算术标准（IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic）的标准编号。

 　　IEEE 浮点标准表示： V = (-1)^s * M * 2^E 。

　　①、s 是符号位，为0时表示正，为1时表示负。

　　②、M为尾数，是一个二进制小数，它的范围是0至1-ε，或者1至2-ε（ε的值一般是2^-k次方，其中设k > 0）

　　③、E为阶码，可正可负，作用是给尾数加权。

 　　我们将浮点数的位划分为三个阶段，分别对这些值进行编码。

　　一、一个单独的符号位 s 直接编码符号 s

　　二、k 位的阶码字段 exp =e_k-1e_k-2...e₁e₀ 编码阶码E

　　三、n 位小数字段 frac = f_n-1f_n-2...f₁f₀ 编码尾数 M，但是编码出来的值也依赖于阶码字段的值是否等于0.

　　一般来说，现在的编译器都支持两种浮点格式，一种是单精度，一种是双精度。单双精度分别对应于编程语言当中的float和double类型。其中float是单精度的，采用32位二进制表示，其中1位符号位，8位阶码以及23位尾数。double是双精度的，采用64位二进制表示，其中1位符号位，11位阶码以及52位尾数。如下图表示：

 　　如果给定了位 s 的表示，根据 exp 的值，被编码的值可以分为三种不同的情况（最后一种情况有两个变种）。下图是单精度的情况：

　　下面我们分别讲解这三种情况（规格化、非规格化、特殊值）

6、数值范围

　　注意：由于浮点数在正负的区间内是一一对应的，因此我们将忽略符号位对取值范围的影响，我们只讨论符号位为0的情况。

　　非规格化

　　①、最小的正非规格化值的位表示，是由最低有效位为 1 而其他所有位为 0 构成。它具有小数（尾数）值 M=f=2^-n 和阶码值 E= -2^k-1+2。因此它的数字值是 V= 2^-n * 2^{2 - 2k-1} = 2^{-n+2 - 2k-1}。

　　②、最大的非规格化值，全为0的阶码字段和全为1的小数字段组成。此时的小数（尾数）值 M=f=1-2^-n，阶码 E=  -2^k-1 +2，因此此时的值为 (1 - 2^-n) * 2^{2 - 2k-1}。

　　规格化

　　①、最小的正规格化值，阶码字段的最低有效位为1，其它位为0,。它的尾数值 M = 1。阶码值 E= -2^k-1 +2。因此数值 V = 2^{2 - 2k-1}

　　②、最大的规格化值，符号位为0，阶码最低有效位等于0，其它位等于 1，尾数为n个1。它的小数值 f=1-2^-n,尾数 M= 2 - 2^-n，此时的值为(2 - 2^-n) * 2^{-1 + 2k-1}，也可以化简一下为(1 - 2^-n-1) * 2^2k-1。

　　下面我们看一下非负浮点数单双精度取值范围：