Latex常用内容
\[X=\left|
\begin{matrix}
x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1d}\\
x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2d}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1d}\\
\end{matrix}
\right|
\]\[\begin{matrix}
1 & x & x^2\\
1 & y & y^2\\
1 & z & z^2\\
\end{matrix}
\]\[\left\{
\begin{array}{c}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\end{array}
\right\}
\]\[X=\begin{pmatrix}
0&1&1\\
1&1&0\\
1&0&1\\
\end{pmatrix}
\]
1. 希腊字母表
\Sigma: \(\Sigma\)
2. 上下标、根号、省略号、空格
下标：_
x^2\(\Longrightarrow\) $ x^2$上标：^
x_i\(\Longrightarrow\) \(x_i\)根号：\sqrt |
y\sqrt{x}\(\Longrightarrow\) \(y\sqrt{x}\)省略号：
\dots\(\Longrightarrow\dots\)
\cdots\(\Longrightarrow\cdots\)
\ddots\(\Longrightarrow\ddots\)括号
| 两个quad空格 | a \qquad b | \(a \qquad b\) | 两个m的宽度 |
|---|---|---|---|
| quad空格 | a \quad b | \(a \quad b\) | 一个m的宽度 |
| 大空格 | a\ b | \(a\ b\) | 1/3m宽度 |
| 中等空格 | a;b | \(a\;b\) | 2/7m宽度 |
| 小空格 | a,b | \(a\,b\) | 1/6m宽度 |
| 没有空格 | ab | \(ab\) | |
| 紧贴 | a!b | \(a\!b\) | 缩进1/6m宽度 |
3. 运算符
- 求和：
\sum_1^n\(\Longrightarrow\) \(\sum_1^n\)- 积分：
\int_1^n\(\Longrightarrow\) \(\int_1^n\)- 极限：
lim_{x \to \infty}\(\Longrightarrow\) \(lim_{x \to \infty}\)- 分数：
\frac{2}{3}\(\Longrightarrow\) $\frac{2}{3} $- 开方：\sqrt[2]{x} \(\Longrightarrow\) \(\sqrt[2]{x}\)
- 积 ：\prod_{i=0}^n \(\Longrightarrow\) \(\prod_{i=0}^n\)
f4. 箭头
| 字符 | 含义 |
|---|---|
| \uparrow | ↑ |
| \downarrow | ↓ |
| \Uparrow | ? |
| \Downarrow | ? |
| \updownarrow | ? |
| \Updownarrow | ? |
| \rightarrow | → |
| \leftarrow | ← |
| \Rightarrow | ? |
| \Leftarrow | ? |
| \leftrightarrow | ? |
| \Leftrightarrow | ? |
| \longrightarrow | ? |
| \longleftarrow | ? |
| \Longrightarrow | ? |
| \Longleftarrow | ? |
| \mapsto | ? |
| \longmapsto | ? |
| \hookleftarrow | ? |
| \hookrightarrow | ? |
| \leftharpoonup | ? |
| \rightharpoonup | ? |
| \leftharpoondown | ? |
| \rightharpoondown | ? |
| \rightleftharpoons | ? |
| \leadsto | ? |
| \nearrow | ↗ |
| \searrow | ↘ |
| \swarrow | ↙ |
| \nwarrow | ↖ |
| \nleftarrow | ? |
| \nrightarrow | ? |
| \nLeftarrow | ? |
| \nRightarrow | ? |
| \nleftrightarrow | ? |
| \nLeftrightarrow | ? |
| \dashrightarrow | ? |
| \dashleftarrow | ? |
| \leftleftarrows | ? |
| \leftrightarrows | ? |
| \Lleftarrow | ? |
| \twoheadleftarrow | ? |
| \leftarrowtail | ? |
| \looparrowleft | ? |
| \leftrightharpoons | ? |
| \curvearrowleft | ? |
| \circlearrowleft | ? |
| \Lsh | ? |
| \upharpoonleft | ? |
| \downharpoonleft | ? |
| \upuparrows | ? |
| \multimap | ? |
| \leftrightsquigarrow | ? |
| \rightrightarrows | ? |
| \rightleftarrows | ? |
| \twoheadrightarrow | ? |
| \rightarrowtail | ? |
| \looparrowright | ? |
| \rightleftharpoons | ? |
| \curvearrowright | ? |
| \circlearrowright | ? |
| \Rsh | ? |
| \downdownarrows | ? |
| \upharpoonright | ? |
| \downharpoonright | ? |
| \rightsquigarrow | ? |
5. 分段函数
f(n)=
\begin{cases}
n/2, & \text{if $n$ is even}\\
3n+1,& \text{if $n$ is odd}
\end{cases}
6. 方程组
\left.
\left\{
\begin{array}{c}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\end{array}
\right.
\right>
7.矩阵
7.1 基本语法
- 起始标记
\begin{matrix}，结束标记\end{matrix}- 每一行末尾标记
\\- 行间元素之间用
&分隔。
\begin{matrix}
0&1&1\\
1&1&0\\
1&0&1\\
\end{matrix}
7.2 矩阵边框
- 在起始、结束标记用下列词替换
matrixpmatrix：小括号边框bmatrix：中括号边框Bmatrix：大括号边框vmatrix：单竖线边框Vmatrix：双竖线边框
\begin{vmatrix}
0&1&1\\
1&1&0\\
1&0&1\\
\end{vmatrix}
7.3 省略元素
- 横省略号：
\cdots- 竖省略号：
\vdots- 斜省略号：
\ddots
\begin{bmatrix}
{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\
{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\
{a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\
\end{bmatrix}
7.4 阵列
- 需要array环境：起始、结束处以{array}声明
- 对齐方式：在{array}后以{}逐行统一声明
- 左对齐：
l居中:c右对齐：r- 竖直线：在声明对齐方式时，插入
|建立竖直线- 插入水平线：
\hline
\begin{array}{c|lll}
{↓}&{a}&{b}&{c}\\
\hline
{R_1}&{c}&{b}&{a}\\
{R_2}&{b}&{c}&{c}\\
\end{array}
8.常用公式
8.1 线性模型
h(\theta) = \sum_{j=0} ^n \theta_j x_j
8.2 均方误差
J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=0}^m(y^i - h_\theta(x^i))^2
8.3 求积
H_c=\sum_{l_1+\dots +l_p}\prod^p_{i=1} \binom{n_i}{l_i}
8.4 批梯度下降
\[\frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j} = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i - h_\theta(x^i))x^i_j \]\[\begin{align} \frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j} & = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i - h_\theta(x^i)) \frac{\partial}{\partial\theta_j}(y^i-h_\theta(x^i))\\ & = -\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i)) \frac{\partial}{\partial\theta_j}(\sum_{j=0}^n\theta_j x^i_j-y^i)\\ &=-\frac1m\sum_{i=0}^m(y^i -h_\theta(x^i)) x^i_j \end{align} \]8.5 贝叶斯、先验、后验估计、似然估计
\[\begin{align} \overbrace{P(x,y|z,u)}^{后验概率} &= \frac{P(z,u|x,y)P(x,y)}{P(z,u)}\\ &\approx \underbrace{P(z,u|x,y)}_{似然} \ \underbrace{P(x,y)}_{先验概率} \end{align} \]\[\begin{align} (x,y)^*_{MAP} &=argmax{P(x,y∣z,u)} \\ &=argmax{\frac{P(z,u|x,y)P(x,y)}{\underbrace{P(z,u)}_{此项与x,y无关，可以去掉}}} \\ &=argmax{{P(z,u|x,y)P(x,y)}} \end{align} \]8.6 任意维高斯分布
\[P(x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^Ndet(\Sigma)}}exp(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)) \\ \Downarrow\Downarrow\Downarrow 负对数\\ -ln(P(x)) = \frac{1}{2}ln((2\pi)^Ndet(\Sigma))+\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu) \\ \Downarrow\Downarrow\Downarrow 负对数\\ (x)^*_{MLE}=argmax(P(x))=argmin((x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)) \]8.7 高斯牛顿法求导
\[\begin{align} \triangle x^* &= \underset{\triangle x}{argmin} \frac{1}{2}||f(x+\triangle x)||^2 \\ &\approx ||f(x) + J(x)^T \triangle x ||^2 \\ &=\frac{1}{2}({||f(x)||^2+2f(x)J(x)^T\triangle x + \triangle x^TJ(x)J(x)^T\triangle x}) \\ \\ &\downdownarrows{令其求导等于0} \\ \\ &\underbrace{J(x)J(x)^T}_{H(x)}\triangle x = \underbrace{-J(x)f(x) }_{g(x)} \end{align} \\ \]引用：
- Typora中利用LaTeX 插入数学公式
- 如何在 markdown 中表示矩阵？