一维定态薛定谔方程求解的两种方法（matlab）

量子力学中，薛定谔方程是核心。薛定谔的猫描述了态的概念，但实际研究中，要想细致地研究一个原子，分子，甚至一块物质，都需要从薛定谔方程的求解开始。下面将会以我的一次作业的题目为例，向大家展示整个求解过程。

薛定谔方程的完整形式为：

以上方程有对时间的微分，还有对空间的微分。而对于定态的薛定谔方程，我们只需考虑某一时刻的波函数，所以直接可将能量算符替代为E（一个常数）。

(1)分段势能法

对于空间的梯度，如果只是一维情况的话，可以直接将梯度算符改为微分。所以一维定态薛定谔方程就显得很简单：

就是一个简单的二阶微分方程。此方程的解想必一眼就可以看出来。就是

这个解是假设U(x)与x无关，是一个常数才得出这个自由波的解。类似与微积分中的方法，对于一个任意势场函数，我们可以假设在某一个极小的dt范围内，势函数是不变的，因此可以将任意一个势函数用有限个一定宽度的恒定势场来代替。如下图所示：

其中的各个小段的波函数就可以表示为

这样就会有2N个方程，然后利用内部的n-1个边界条件（界面处波函数连续，波函数的倒数连续），和两端的衔接（假设入射为1，则A1=1, B1=r； 且最终透射端没有反射波，AN=t, BN=0. ），就可以写出2N个线性无关的方程，从而可以将系数都求解出来。

注意，这种情况下，我们无从得知基态的能量值，以及能量的分立的特性。但是从这种角度出发，我们可以很容易计算出波在这样的势函数中传输特性，可以计算出入射端的反射系数R，以及不同能量所对应的入射波的透射系数T。

下面将以一个例子应用上述关系。

根据上图中所示的势函数求解薛定谔方程，得到透射系数和反射系数随温度的变化关系为

详细过程，参见https://github.com/elike-ypq/elike/tree/master/physics

(2)差分法

现在我们从另外一个角度出发，一维定态薛定谔方程如下

在这里，我们要求的是，可以将分为N份，采用数值计算方法，将微分方程变成差分方程。参考相应书籍可知

可以化为

对于上述波函数也可以转化为类似的形式，

所以可以由矩阵T的特征值对应能量，特征向量对应于波函数在每一个节点的解。

大家可以从下面的例子中详细分析求解的过程

基态和第一激发态的波函数画图如下：

可以看出随着这两个势阱远离，基态和第一激发态的能量差值逐步减小，逐步趋近于只有一个势阱时所对应基态与第一激发态的差值，所以当两个原子靠得越近的时候，能量量子化的现象也就越明显，可以理解为能级之间的排斥作用。

所有代码参见https://github.com/elike-ypq/elike/tree/master/physics