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1027. 方格取数

设有 \(N×N\) 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字\(0\)。如下图所示：

某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

输入格式

第一行为一个整数\(N\)，表示 \(N×N\) 的方格图。

接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。

行和列编号从 \(1\) 开始。

一行“0 0 0”表示结束。

输出格式

输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。

数据范围

N≤10

输入样例：

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0

输出样例：

67

解题思路

dp

• 状态表示：\(f[i][j][k]\) 表示两条路径终点分别为 \((i-j,j)\) 和 \((i-k,k)\) 时的最大的和

• 状态计算：

• • \(j\neq k\) 时，\(f[i][j][k]=max(\{f[i][j][k],f[i-1][j-1][k],f[i-1][j][k-1],f[i-1][j-1][k-1],f[i-1][j][k]\})+a[j][i-j]+a[k][i-k]\)
• • \(j-k\) 时，\(f[i][j][k]=max(\{f[i][j][k],f[i-1][j-1][k],f[i-1][j][k-1],f[i-1][j-1][k-1],f[i-1][j][k]\})+a[j][i-j]\)

分析：同步计算，当两者走到的纵坐标相等时说明走到了同一个位置，这时只能取一个值

• 时间复杂度：\(O(n^3)\)

代码

// Problem: 方格取数
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/1029/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include 
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair PII;
typedef pair PLL;
 
template  bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template  bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template  void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

int f[25][15][15],n,a[15][15];
int main()
{
    cin>>n;
    int x,y,w;
    while(cin>>x>>y>>w,x||y||w)a[x][y]=w;
    for(int i=2;i<=2*n;i++)
    	for(int j=1;jn||i-k>n)continue;
    			int &t=f[i][j][k];
    			t=max({t,f[i-1][j-1][k],f[i-1][j][k-1],f[i-1][j-1][k-1],f[i-1][j][k]});
    			t+=a[j][i-j];
    			if(j!=k)t+=a[k][i-k];
    		}
    cout<