非齐次线性方程求解，通解和特解

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Reference

1. Course website: Solving Ax = b: Row Reduced Form R | Unit I: Ax = b and the Four Subspaces | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare
2. Course video: 【完整版-麻省理工-线性代数】全34讲+配套教材_哔哩哔哩_bilibili
3. Course summary: Lecture 8: Solving Ax = b: row reduced form R (mit.edu)
4. Extra reading: Section 3.3 in Introduction to Linear Algebra, Fifth Edition by Gilbert Strang.

下面该讨论非齐次线性方程的情况了，实在不想讨论了，因为大家都会。

Complete Solution

非齐次先行方程的解=齐次线性方程的通解+非齐次线性方程的特解。（记得之前看过证明，但是转头就忘了，似乎也没啥用所以这里都不讲了）

Solution in Nullspace

通解？就是齐次线性方程的解（Ax=0）。化成Reduced Echelon Form就好了。上一讲的东西。

Particular Solution

特解？就是“随便”找一个满足 \(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}\) 的解，但是我们往往按照某个章法去找。在矩阵求逆的过程中已经知道了增广矩阵。\(\begin{bmatrix}\boldsymbol{A} & \vdots\boldsymbol{b}\end{bmatrix}\) 化成Reduced Echelon Form \(\begin{bmatrix}\boldsymbol{U} & \vdots\boldsymbol{EPb}=\boldsymbol{c}\end{bmatrix}\)。

首先看全零行对应的向量 \(c\) 的行如果非零，就会出现0=非0的矛盾，因此解不存在。否则没有全零行或者全零行对应向量的行也是0（0=0恒成立），解必存在。

如果解存在，直接令非主元（自由变量）全0，显然这时候主元（约束变量）的值就是 \(\boldsymbol{c}\) 的值（按顺序从上到下，除去全零行对应的0）。

Conclusion

没啥用，就理解全零行对应的方程必须是0=0才能有解。