原码、反码、补码、移码相互转换及其运算

原码、反码、补码和移码的相互转换

一、机器数

　　连同符号位一起数字化的数。

　　1.特点
　　　　①符号数字化
　　　　②数值的大小受机器字长的限制。每个机器数所占的二进制位数受限于机器硬件规模，与机器字长有关。超过机器字长的数位要被舍去。

　　2.真值：机器数中除“+”“-”符号外，其余部分表示的值。

　　3.分类

　　　　①无符号数：机器字长的所有二进制位均表示数值。

　　　　②带符号数：数值部分和符号均为二进制代码表示，通常符号位位于最高位。符号位“1”表示“-”，“0”表示“+”。

 二、原码

　　原码是保持原有的数值部分的形式不变。

 　　　　整数部分：　　

　　　　　　当0≤X＜2ⁿ，[X]_原=X                             [10011001]_原 = 010011001

　　　　　　当-2ⁿ＜X≤0，[X]_原=2ⁿ-X=2ⁿ+|X|       [-10011001]_原= 110011001

　　　　小数部分：

　　　　　　当0 ≤ X＜1，[X]_原=X                           [0.10011001]_原 = 0.10011001

　　　　　　当-1＜X ≤ 0，[X]_原=1+|X|                   [-0.10011001]_原= 1.110011001

 　　①将[X]_原的符号取反即可得到[-X]_原

 　　　　【例题】设机器字长为8位，写出+37和-37的二进制。

　　　　　　解析：37得到的二进制数为100101，“+”为1，“-”为0，符号位在最高位

　　　　　　　　[+37]_原=(+37)₁₀=(+100101)₂=(+00100101)₂=00100101

　　　　　　　　[-37]_原=(-37)₁₀=(-100101)₂=(-00100101)₂=10100101

 　　②原码中0的表示不唯一

　　　　整数原码：[+0]_原=00...0     [-0]_原=10...0 

　　　　小数原码：[+0]_原=0.00...0  [-0]_原=1.00...0 

　　③原码的移位规则：符号位不变，数值部分左移或右移，移出的空位归0。左移是乘法，右移是除法。移动n位是乘或除2ⁿ。

　　　【例子】　[0.0110000]_原=0.0110000

　　　　　　　　[0.0110000]_原÷2=0.0011000

　　　　　　　　[0.0110000]_原×2=0.1100000

三、反码

　　①反码与原码的关系

　　　　当X≥0，[X]_反=[X]_原

　　　　当X<0,[X]_反=[X]_原的位取反（符号位不变）

　　　　【例子】

　　　　　　[+0.1001100]_反=0.1001100　　[-0.1001100]_反=1.0110011

　　　　　　[+1001100]_反=01001100　　　[-1001100]_反=10110011

　　②反码中0的表示不唯一

　　　　[+0]_反=00...0　　[-0]_反=11...1

四、补码　

　　补码的目的是使得减法也可以按照加法的方式来计算（加减法）；同时，补码可以将数的符号位和数值域采用统一方式处理。

　　　　模（mod）的概念：对于某一确定的模，某数减去一个数，可以用加上那个数的负数的补数来替代。

　　　　当X ≥ 0，[X]_补=(M+X)mod M=X，正数的补数等于其本身。

　　　　当X＜0，[X]_补=(M+X)mod M=M-|X|，负数的补数等于模与该数绝对值之差。

　　　　【例子】　(5-2)mod 10=(5+8)mod 10=3，所以当模为10时，-2的补数为8。

　　①补码与原码、反码的关系

　　　　当X ≥ 0，[X]_补=[X]_反=[X]_原

　　　　当X＜0，[X]_补=[X]_反+1，[[X]_补]_补=[X]_原

　　　　【例子】机器字长为8，求+37和-37的原码、反码、补码

　　　　　　　　[+37]_原=[+37]_反=[+37]_补=00100101

　　　　　　　　[-37]_原=10100101

　　　　　　　　[-37]_反=11011010

　　　　　　　　[-37]_反=11011011

　　②补码中0的表示是唯一的

　　　　[+0]_补=00000000　　[-0]_补=00000000

　　③补码的表数范围比原码大

五、移码

　　移码也称为增码、余码，主要用于表示浮点数的阶码，因此一般表示整数。

　　　　纯整数移码：[X]_移=2ⁿ+X　　-2ⁿ≤X＜2ⁿ

　　　　纯小数移码：[X]_移=1+X　　-1≤X＜1

　　①移码与补码的关系：整数补码的数值部分不变，符号取反即得整数移码。反之亦然。

　　　　当X≥0，[X]_移=[X]_补+2ⁿ

　　　　当X<0，[X]_移=[X]_补-2ⁿ

　　　　【例1】

　　　　　　[+1101010]_补 = 01101010

　　　　　　[+1101010]_移 = 11101010

　　　　　　[-1101010]_补 = 10010110

　　　　　　[-1101010]_移 = 00010110

 　　　　【例2】在字长为8位的机器中，[X]_移=2⁷+X

　　　　　　若X=+1100101 ，则[X]_移=2⁷+1100101=10000000+1100101=11100101

　　　　　　若X=-1100101 ，则[X]_移=2⁷+(-1100101)=10000000-1100101=00011011

　　　　【例3】求+12和-3的8位移127码的二进制编码形式

　　　　　　(+12)₁₀=1100，[+12]_移127码=127+12=(139)₁₀=(1111111+1100)₂=(10001011)₂

　　　　　　(-3)₁₀=-11，[-3]_移127码=127-3=(124)₁₀=(1111111-11)₂=(01111100)₂

　　②移码中0的表示是唯一的

　　　　纯整数：[+0]_移=[-0]_移=10000000

　　③移码的表数范围与补码一致