矩阵分解

矩阵的对角分解
定理5.1 为正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵,使得：

例1 设是阶正规矩阵，其特征值，，，，则：
是厄米特矩阵的充要条件是：的特征值全是实数；
是反厄米特矩阵的充要条件是：的特征值为零或纯虚数；
是酉矩阵的充要条件是：的每个特征值的模。
矩阵的三角分解
定义5.1：设，如果存在下三角矩阵和上三角矩阵，使得，则称可以作三角分解。
定理5.2：设可逆矩阵，则可以作三角分解的充要条件是的所有顺序主子式不为零。
定义5.2：设，
??如果可以分解为，其中是对角线元素为1的下三角矩阵（称为单位下三角矩阵），为上三角矩阵，则称之为的Doolittle分解。

如果可以分解成，是对角线元素为1的上三角矩阵(称为单位上三角矩阵)，则称之为的Crout分解。

如果可以分解成，其中分别是单位下三角矩阵、对角矩阵、单位上三角矩阵，则称之为的LDR分解。

如果是正定的厄米特矩阵，则存在下三角矩阵使得，称之为的Cholesky分解。
矩阵的满秩分解
??这一节讨论一种将矩阵分解为列满秩与行满秩矩阵的乘积。

定义5.3：设，如果存在，，使得，则称为矩阵的满秩分解。
定理5.3：设，则满秩分解总是存在的。
舒尔定理与矩阵的QR分解
??舒尔(Schur)定理在理论上很重要，它是很多重要定理的出发点。而矩阵的分解在数值化代数中起着重要的作用，是计算矩阵特征值以及求解线性方程组的重要工具。

定理5.4：(舒尔定理)若，则存在酉矩阵，使得：

这里是上三角矩阵，的对角线上的元素都是的特征值。

定理5.5：(QR分解定理)设为阶复矩阵，则存在酉矩阵及上三角矩阵，使得：

参考：https://www.jianshu.com/p/fe51d05e83af