《电路》课程笔记（二）
三、电阻电路的一般分析
回路电流法
支路:每一个二段元件称为一条支路
结点:支路与支路的连接点称为结点,多个等电位的结点可视为一个结点
路径:从一个结点到另一个结点所经过的支路集合
回路:从起点出发,终点又回到起点,所形成的的闭合路径称为回路,要求中间经过的结点只能经过一次.
网孔:能令回路中不另外含有支路的回路称为网孔, 网孔数量等于 = KVL独立方程数.
回路电流法的方差个数 = 未知数个数
结点电压法
任意选择某一结点为参考结点,其他结点为独立结点
结点电压:独立结点与参考结点之间的电压
结点电压法: 以结点电压为独立变量,列写独立结点的KCL方程,共有n-1个独立方程
一般步骤:
- 选定参考结点,标定n-1个独立结点编号
- 对n-1个独立结点,以结点电压为独立变量,列结点电压方程
- 求解结点电压方程,得到n-1个结点电压
- 通过结点电压求各支路电流
结点电压法和回路电流法的比较
四、电路定理
叠加定理
在线性电路中,任一支路的电压或电流都等于各独立电源单独作用在此支路所产生电压或电流的叠加.
线性电路:电路所建立方程中仅含有线性项的电路
替代定理
对于任意一个电路,若某一支路的电压为\(u_k\),电流为\(i_k\),那么这条支路就可以用一个电压等于\(u_k\)的独立电压源替代,或者用一个电流等于\(i_k\)的独立电流源替代,或者用\(R = u_k/i_k\)替代后电路中全部电压和电流均保持原有值.
戴维宁定理
等效电阻:电阻串联或并联都可以等效成一个电阻,称为等效电阻
如果一端口网络中仅含线性电阻和受控源,也可等效为一个电阻,称为等效电阻\(R_{eq}\)
求等效电阻的方法:在端口加电压源,求电源电源和电流的比值.
戴维宁定理的内容:一个含独立电源,线性电阻和受控源的一端口,对外电路来说可以用一个电压源和电阻的串联来等效.
此电压源电压等于一端口的开路电压,记为\(u_{oc}\)
电阻等于一端口内全部独立电源置零后的等效电阻,记为\(R_{eq}\)
戴维宁等效电路求解方法:先求开路电压,再求等效电阻
等效电阻求法:外加电源法和短路电流法
外加电源法:将一端口内所有独立源置零,在端口外加电压源,则等效电阻等于外加电压源电压和电流的比值.
短路电流法:保留独立电源，最右侧短路\(R_{eq} = u_{oc}/i_{sc}\)
诺顿定理及其等效电路求解
任何一个含源线性一端口电路,对外电路来说,可以用一个电路源和电阻的并联组合来等效置换.电流源的电流等于该一端口的短路电流.电阻等于该一端口的输入电阻
一般情况,诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到.
最大功率传输定理
\(R_L = R_{eq}\) 时功率最大,\(P_{max} = \frac{u^2_{oc}}{4R_{eq}}\)
应用于一端口电路给定,负载可调的情况
特勒根定理,互易定理,对偶原理
特勒根定理1 : 在关联参考方向下,所有支路上的电压电流成绩的总和为0 , \(\sum^b_{k=1} u_ki_k = 0\)
? 适用于线性和非线性电流,实际上反映了功率守恒
特勒根定理2 : 若两个电路具有相同的图,且电压电流为关联参考方向则有 \(\sum_{k=1}^b \hat u_ki_k = 0\) , \(\sum_{k=1}^b u_k \hat i_k = 0\) ,
推论 :两个结构相同的电路中包含相同的纯电阻网络,则有 \(\sum_{k=1}^r \hat u_ki_k = \sum_{k=1}^r u_k \hat i_k\) , r为除去纯电阻网络外的支路总数.
应用 :
互易定理
如果只含有线性电阻和一个激励源,那么将激励和响应的位置互换后,激励与响应的比值保持不变
对偶原理: KCL与KVL互为对偶
电压——电流
电阻——电导
电感——电容
串联——并联
回路——结点
两个对偶电路例子：
五、动态电路的时域分析
电容元件
正负电极上分别带上等量异号电荷，搬去电源，电极上的电荷仍可长久的聚集下去，是一种储存电能的元件，F（法拉）
\(q = Cu\) C为电容
电容的电压——电流关系
电容元件VCR的微分形式：\(i = \frac{dq}{dt} = \frac{dCu}{dt} = c\frac{du}{dt}\)
? 动态元件,隔断直流的作用
电容元件VCR的积分形式：\(u(t) = \frac{1}{C}\int^t_{-\infin}i(\xi)d\xi = u(t_0)+\frac{1}{C}\int^t_{t_0}i(\xi)d\xi\)
? 记忆元件,记忆电流的作用,\(u(t_0)\),电容电压的初始值,也称为初始状态.
功率 : \(p = ui = uC\frac{du}{dt}\) p>0, 电容充电,电容吸收功率
储能 : \(W_c = \frac{1}{2}Cu^2(t)\) , 电能储能只与当时电压值有关,电压不能越变
电感元件
当电流通过线圈,将产生磁通,是一种抵抗电流变化,储存磁能的元件. H(亨利)
\(\Psi(t) = Li(i)\) L为电感
电感的电压——电流的关系
电感元件VCR的微分形式 : \(u(t) = \frac{d\Psi}{dt} = L\frac{di(t)}{dt}\)
? 动态元件,直流时,电感相当于短路,电感电压为有限值
电感元件VCR的积分形式 : \(i(t) = \frac{1}{L}\int^t_{-\infin}u(\xi)d\xi = i(t_0)+\frac{1}{L}\int^t_{t_0}u(\xi)d\xi\)
? 记忆元件,记忆电压的作用,\(i(t_0)\) 初始值
功率 : \(p = ui = L\frac{di}{dt}i\)
电感能在一段时间内吸收能量并转化为磁场能量储存起来,电感元件是无源元件,储能元件
储能 : \(W_i = \frac{1}{2}Li^2(t)\) 只与当时的电流值有关,电流不能跃变
常系数线性微分方程
一阶线性方程 : \(d\frac{dy}{dt} + by = f(t)\) ,\(f(t)\)为自由项
\(f(t) = 0\), 为线性齐次方程, 通解为 \(y = Ae^{-\frac{b}{a}t}\) , A由初始条件决定.
\(f(t) \neq0\) ,非齐次方程, 通解为 \(y = Ae^{-\frac{b}{a}t}+ y^{''}\)
动态电路的方差
含有动态元件电容和电感的电路称为动态电路,当动态电路状态发生改变时,需经历一个变化过程才能达到新的稳定状态.
含有一个动态元件的线性电路,其方程为一阶线性常微分方程,为一阶电路.
含有两个动态元件的线性电路,其方程为二阶线性常微分方程,称为二阶电路.
动态电路的初始条件
电容的初始电压,电感的初始电流
\(0_{-}\) 开关闭合前的一瞬间, \(0_+\) 开关闭合后的一瞬间
动态电路的初始时间点是\(0_+\) ,\(u(0_+) = u(0_-)\) ,\(i(0_+) = i(0_-)\) .
对换路时电容电压和电感电流发生跃变的情形
电容电压强迫跳变，电容电流不为有限值。
在换路前后电感电流发生强迫跳变，电感电压不为有限值。
一阶电路的零输入响应
一阶电路的零状态响应
一阶电路的全响应
一阶电路分析的三要素
$\tau $ 为时间常数,表征过渡过程的快慢,\(\tau\) 越小,过渡过程越快,反之越慢
电容: \(u_c(t) = u_c(\infin)+[u_c(0_+)-u_c(\infin)]e^{-\frac{t}{\tau}} , \tau = RC\)
电感: \(i_L(t) = i_L(\infin)+[i_L(0_+)-i_L(\infin)]e^{-\frac{t}{\tau}} , \tau = \frac{L}{R}\)
三要素公式: \(f(t) = f(\infin)+[f(0_+)-f(\infin)]e^{-\frac{t}{\tau}}\)