[LOJ6538] 烷基计数加强版加强版
[LOJ6538] 烷基计数加强版加强版
定义\(F(x)\)表示答案多项式
枚举一个点为根,那么我们可以列出\(F(x)\)的转移方程
\(F(x)=x\frac{F(x)^3+3F(x^2)F(x)+2F(x^3)}{6}+1\)
其中\(F(x^2)\)表示选了两个相同大小,\(F(x^3)\)表示选了三个大小相同,1表示空树
这个东西可以用\(burnside\)定理得出
burnside 定理
对于原来选择方案的一个等价变换\(F\rightarrow G\)
如这个题中,三个子树编号为\(1,2,3\),那么我们把三个子树任意变换到别的位置都是等价的
如\((1,2,3)\rightarrow (3,1,2)\)为一个等价的变化
\(方案数=\frac{对于每一个变换,变换之后方案完全相同的数量}{总的变换数量}\)
这个题所有的变换就是排列,一共有\(6\)个
对于这个题来说,排列之后不变,意味着排列之后这两个点完全相同
\((1,2,3)\rightarrow (1,2,3):F(x)^3\)
\((1,2,3)\rightarrow (1,3,2):F(x)F(x^2)(3=2)\)
\((1,2,3)\rightarrow (2,1,3):F(x^2)F(x)(1=2)\)
\((1,2,3)\rightarrow (2,3,1):F(x^3)(1=2=3)\)
\((1,2,3)\rightarrow (3,1,2):F(x^3)(1=2=3)\)
\((1,2,3)\rightarrow (3,2,1):F(x^2)F(x)(1=3)\)
带入就得到了上面的转移方程式
\[\ \]我们考虑解这个方程
\[f(F(x))=F(x)-x\frac{F(x)^3+3F(x^2)F(x)+2F(x^3)}{6}-1 \]\[f'(F(x))=1-\frac{x}{6}(3F(x)^2+3F(x^2)) \]预先求出\(G(x) = F(x) (\mod x^\frac{n}{2})\)
因为\(F(x^2),F(x^3)\)可以通过\(G(x)\)的系数直接得到,所以我们认为\(F(x^2),F(x^3)\)是常数
设\(F(x^2)=A,F(x^3)=B\)
\(f(F)=F-x\frac{F^3+3A\cdot F+2B}{6}-1=0\)
\[f'(F)=1-\frac{x}{6}(3F^2+3A)=0 \]求出多项式\(f(F)\)在\(G\)上的泰勒展开
\[f(F)=\sum _0^\infty \frac{f^{(i)}(G)}{i!}(F-G)^i \]\(i=0,f(G)\)
\(i=1,f'(G)(F-G)\)
\(i>1,(F-G)^i\equiv 0 (\mod x^n)\)
\(0=f(G)+f'(G)(F-G)\)
\(F=G-\frac{f(G)}{f'(G)}\)
\[F=G-\frac{G-\frac{x}{6}(G^3+3A\cdot G+2B)-1}{1-\frac{x}{6}(3G^2+3A)} \]\[F=\frac{G-\frac{x}{6}(3G^3+3A\cdot G)-G+\frac{x}{6}(G^3+3A\cdot G+2B)+1}{1-\frac{x}{6}(3G^2+3A)} \]\[F=\frac{\frac{x}{6}(2B-2 G^3)+1}{1-\frac{x}{6}(3G^2+3A)} \]代码,上面全部都是多项式的模板
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
#define rep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i<=i##end;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i>=i##end;--i)
#define pb push_back
template inline void cmin(T &a,T b){ ((a>b)&&(a=b)); }
template inline void cmax(T &a,T b){ ((a T rd(){
T s=0;
int f=0;
while(!isdigit(IO=getchar())) if(IO=='-') f=1;
do s=(s<<1)+(s<<3)+(IO^'0');
while(isdigit(IO=getchar()));
return f?-s:s;
}
const int N=1<<21|10,P=998244353;
int n;
ll qpow(ll x,ll k) {
ll res=1;
for(;k;k>>=1,x=x*x%P) if(k&1) res=res*x%P;
return res;
}
namespace Polynomial{
typedef vector Poly;
#define Mod1(x) ((x>=P)&&(x-=P))
#define Mod2(x) ((x<0)&&(x+=P))
void Show(Poly a){ for(int i:a) printf("%d ",i); puts(""); }
int rev[N];
int PreMake(int n){
int R=1,cc=-1;
while(R>1]>>1)|((i&1)< a,vector b){
reverse(a.begin(),a.end()),reverse(b.begin(),b.end());
int n=a.size(),m=b.size();
b.resize(n-m+1),b=Inv(b);
a=a*b,a.resize(n-m+1);
reverse(a.begin(),a.end());
return a;
}
Poly operator % (vector a,vector b) {
a=a-a/b*b;
a.resize(b.size()-1);
return a;
}
Poly Sqrt(vector a){
int n=a.size();
if(n==1) { Poly tmp; tmp.pb(1); return tmp; }
Poly b=a; b.resize((n+1)/2),b=Sqrt(b),b.resize(n);
Poly c=Inv(b);
int R=PreMake(n*2);
a.resize(R),c.resize(R);
NTT(R,a,1),NTT(R,c,1);
rep(i,0,R-1) a[i]=1ll*a[i]*c[i]%P;
NTT(R,a,-1);
a.resize(n);
rep(i,0,n-1) a[i]=1ll*(P+1)/2*(a[i]+b[i])%P;
return a;
}
Poly Deri(Poly a){
rep(i,1,a.size()-1) a[i-1]=1ll*i*a[i]%P;
a.pop_back();
return a;
}
int Mod_Inv[N];
Poly IDeri(Poly a) {
Mod_Inv[0]=Mod_Inv[1]=1;
rep(i,2,a.size()+1) Mod_Inv[i]=1ll*(P-P/i)*Mod_Inv[P%i]%P;
a.pb(0);
drep(i,a.size()-1,1) a[i]=1ll*a[i-1]*Mod_Inv[i]%P;
a[0]=0;
return a;
}
Poly Ln(Poly a){
int n=a.size();
a=Inv(a)*Deri(a);
a.resize(n-1);
return IDeri(a);
}
Poly Exp(Poly a){
int n=a.size();
if(n==1) { Poly tmp; tmp.pb(1); return tmp; }
Poly b=a; b.resize((n+1)/2),b=Exp(b),b.resize(n);
Poly c=Ln(b);
int R=PreMake(n<<1);
a.resize(R),b.resize(R),c.resize(R);
NTT(R,b,1),NTT(R,a,1),NTT(R,c,1);
rep(i,0,R-1) a[i]=1ll*b[i]*(1-c[i]+a[i]+P)%P;
NTT(R,a,-1),a.resize(n);
return a;
}
}
using namespace Polynomial;
const int Inv6=qpow(6,P-2);
const int Inv3=(P+1)/3;
const int Inv2=(P+1)/2;
Poly Calc(int n){
if(n==1) return Poly{1};
int m=(n+1)>>1;
Poly G=Calc(m),A,B;
A.resize(n),B.resize(n);
rep(i,0,(n-1)/2) A[i*2]=G[i];
rep(i,0,(n-1)/3) B[i*3]=G[i];
Poly x=Poly{1}+Poly{0,Inv3}*(B-G*G*G);
Poly y=Poly{1}-Poly{0,Inv2}*(G*G+A);
x=x*Inv(y);
x.resize(n);
return x;
}
int main(){
int n=rd();
Poly Res=Calc(n+1);
printf("%d\n",Res[n]);
}