Python <算法思想集结>之初窥基础算法

1. 前言

数据结构和算法是程序的 2 大基础结构，如果说数据是程序的汽油，算法则就是程序的发动机。

什么是数据结构？

指数据在计算机中的存储方式，数据的存储方式会影响到获取数据的便利性。

现实生活中，如果把春夏秋冬的衣物全部堆放在一起，当需要某一季节的衣服时，寻找起来是困难的。

如果分门别类、有条理地存放，则寻找起来会方便很多。

同理，编写程序时，如果对程序所依赖的数据有条理、易于查找的方式进行存储，则在处理数据时，可以提升程序的整体性能。

数据结构准确说是一个空间管理概念，同样的数据使用不同的数据结构时，对程序会有空间度上的影响。

什么是算法？

理解算法，可以从 2 个角度：

• 广义角度： 算法是指处理数据时，使用的解决思路。只要能达到数据处理目的，任一解决思路都可认为是算法，也就是说程序中无处不算法。
• 狭义角度： 对各种解决问题的经验和思路进行总结、归纳，形成算法体系或算法思想。

研究算法的意义：

• 条条道路通罗马，解决同一个问题的方案往往不只一种，所以，需要在诸多的方案中选择最佳的一种，这便是研究算法的意义之一。
• 系统化算法理论，以此让算法成为一门独立的体系，当解决问题时，可以遵循问题的特征快速找到特定的算法方案。

本文主要是从狭义角度聊聊常见的几种算法。

2. 常见算法思想

2.1 穷举算法思想

穷举算法也称为枚举算法或暴力算法，是一种原始算法。

什么是原始算法?

要了解原始算法的概念，就需要理解计算机的思维模式。

计算机本质是一台无意识、无经验、无知识积累的冰冷机器，它仅有基本的运算能力和判断能力。当然它还有一个人类无法比拟的强项，运算速度非常快。

人类思维和计算机思维的区别

比如，请找出数列[1,2,3,4,5]中哪 2 个数字相加等于 5。人类思维是直观性学习思维，可以直接给出答案，计算机不行。

计算机采用的是基本运算加判断的方案。先把1和2相加然后判断，如果不是，继续 把1和 3相加再判断……

这种思维我们称为穷举思维或暴力思维。

nums = [1, 2, 3, 4, 5]
for i in range(len(nums)):
    for j in range(len(nums)):
        if nums[i] != nums[j] and nums[i] + nums[j] == 5:
            print(nums[i], nums[j])

当数列中的数字很少的时候，人类的思维有优势，当数据量很大的时候，计算机虽然采用的是笨拙的穷举思维，但是，因处理速度快，反而要远远快于人类计算出来。

本质上讲，计算机是无思维的，或者说计算机只会穷举，所以说，算法的本质都是引导性的。

什么是引导性？

就是你问它，它摇头或点头，你根据它的点头或摇头，继续问，它继续点头或摇头，直到得到你想到的答案。

穷法算法的思想：在一个指定的数据范围之内，通过不停地判断直到查找到正确的答案。

可以用 2 句话概括：无循环无程序，无条件无逻辑。

现根据穷举算法的思路解决一个数学中常见的猜数字题目。

如下图，每一个中文汉字表示一个数字，请找出每一个汉字所对应的数字。

穷举流程：

• 确定数字范围： 如果要让整个表达式有意义，则我和程字所对应的数字不能是 0。所以我和程字的数字范围应该是 1~9之间，其它的数字范围可以是 0~9之间。
• 初始每一个汉字所对应的数字， 然后套用表达式进行计算，如果计算结果符合要求，则宣布查找到，否则，更改每一个汉字所对应的数字。

编写实现：

# 为 我很爱编程 中的每一个汉字初始数字起始边界
wo = 1
hen = 0
ai = 0
bian = 1
chen = 1
count = 0
result = 0
for wo in range(1, 10):
    for hen in range(0, 10):
        for ai in range(0, 10):
            for bian in range(0, 10):
                for chen in range(1, 10):
                    result = chen * pow(10, 5) + chen * pow(10, 4) + chen * pow(10, 3) + chen * pow(10, 2) + chen * pow(
                        10, 1) + chen
                    num1 = wo * pow(10, 4) + hen * pow(10, 3) + ai * pow(10, 2) + bian * pow(10, 1) + chen
                    count += 1
                    if num1 * wo == result:
                        print(wo, hen, ai, bian, chen)
                        print("次数：",count)
                        break
'''
输出结果
7 9 3 6 5
次数： 62429
'''

上述代码为典型的穷举算法，代码中添加了一个计数器，用来统计最终计算多少次，仅为了观察。

穷举算法的结构有一个较大的特点，往往会出现循环语法结构层层嵌套。

在此基础上思考，是否存在优化方案，可以减少循环次数。

题目中还有一个隐式条件，我很爱编程中的每一个汉字所对应的数字不能相同。可以把这条件加入到上述代码中。

# 为 我很爱编程 中的每一个汉字初始数字起始边界
wo = 1
hen = 0
ai = 0
bian = 1
chen = 1
count = 0
result = 0
for wo in range(1, 10):
    for hen in range(0, 10):
        if hen == wo:
            continue
        for ai in range(0, 10):
            if ai == hen or ai == wo:
                continue
            for bian in range(0, 10):
                if bian == ai or bian == hen or bian == wo:
                    continue
                for chen in range(1, 10):
                    if chen == bian or chen == ai or chen == hen or chen == wo:
                        continue
                    result = chen * pow(10, 5) + chen * pow(10, 4) + chen * pow(10, 3) + chen * pow(10, 2) + chen * pow(
                        10, 1) + chen
                    num1 = wo * pow(10, 4) + hen * pow(10, 3) + ai * pow(10, 2) + bian * pow(10, 1) + chen
                    count += 1
                    if num1 * wo == result:
                        print(wo, hen, ai, bian, chen)
                        print("次数：", count)
                        break
 '''
 输出结果：
 7 9 3 6 5
 次数： 18666
 '''

从 2 次代码的运行结果可知，循环次数减少了 62429-18666=43763次。虽然减少了循环次数，因没有从本质上改变算法结构，所以说还是最原始的穷举算法思路。

2.2 递推算法思想

计算机的思维本质是穷举。但是，人的思维是知识性、探索性思维，可以在解决问题时，发现问题中的规律，并通过计算机语言告诉计算机，这样可以在计算时绕过一些不必要的计算。

研究算法的本质就是通过发现数据间的规律、减少穷举的次数。

什么是递推算法？

简单讲，不断地利用已知信息推导出最终结果。显然，已知信息和最终结果数据之间一定要存在某些内在联系或规律。

递推算法又分为顺推法和逆推法。

• 顺推法： 从已知条件出发，逐步推算出所需要的结果。

• 逆推法： 从已知的结果出发，用迭代式逐步推算出问题开始，逆推法的本质就是逆向思维。

这里通过 2 个案例分别介绍顺推法和逆推法。

斐波拉契数列

数列 [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……]就是一个符合斐波拉契关系的数列。

斐波拉契数列特点：

• 数列中的第 1、2 位置的数字是 1 ，这是已知信息。
• 从第 3 个位置开始，其值为前面 2 个数字相加的结果。 知道了第 3 个位置的值，也将知道第 4 个位值，依此类推，可以求解出任何位置的数字。

num1 = 1
num2 = 1
for i in range(12):
    # 推导出第 3 个位置的数字
    num3 = num1 + num2
    print(num3, end="\t")
    # 为计算后续数据做准备
    num1 = num2
    num2 = num3

求解斐波拉契数列的方案就是典型的顺推思维。

如有数列[1,4,10,22,46……]，分析数列中前面几个数字的规律，输出数列的前 20 个数字。分析后可发现第 1 个位置的数字 1是已知信息，从第 2 个位置开始，其值和前一个值符合2*x+2的线性规律，所以也可以递推算法求解。

猴子吃桃

有一只猴子，第 1 天摘了若干桃子，吃了桃子的一半后又吃了一个，第 2 天也是吃了桃子一半后再吃了一个……如此类推，到第 10 天时，还剩余 1 只桃子。请问猴子第 1 天摘了多少只桃子。

分析：

• 第 10 天还剩余 1 只桃子，可以看成是已知信息，已知信息属于结果信息。

• 求解第 1 天的桃子总量，需求解的是开始问题。

可以使用逆推算法，也就是我们经常讲的逆向思维解决猴子吃桃问题。

找出数据之间的关系：

• 第 10 有 1 个桃子，第 10 天的这 1 个桃子是取第 9 天桃子的一半减一个剩余的。
• 前一天的桃子除以 2 减 1 等于后 1 天的桃子，或者说，前 1 天的桃子等于（后 1 天的桃子加 1）乘以 2。

有了数列之间的关系，编码就很容易了。

# 第 10 天的桃子数，也是已知条件
num = 1
for i in range(9):
    # 向第 1 天推进
    num = (num + 1) * 2
print(num)

类似的问题还有很多：

如猜年龄问题。

有 5 个小孩子，问第 1 个小孩子的年龄是多少？他说他是第 2 个小孩子的年龄加 2 岁。

问第 2 个小孩子的年龄时，他说他是第3个小孩子的年龄加2岁。

问第3个小孩子的年龄时，他说他是第 4个小孩子年龄加2 岁。

问第 4 个小孩子年龄时，他说他是第 5 个小孩子的年龄加2 岁。

问第 5个小孩子的年龄时，他说他的年龄是 6岁，求解每一个小孩子的年龄。

这个问题也是典型的逆推问题。第 5 个小孩子的年龄是已知的，而且知道与前一个小孩子年龄的关系前一个小孩子的年龄=后一个小孩子年龄+2。满足数学上的线性函数关系。

一层层回推就能计算出第 1 个小孩子的年龄是：14岁。

age = 6
for i in range(4, 0, -1):
    age = age + 2
    print("第{0}个小孩子的年龄是{1}".format(i,age))
 '''
输出结果
第4个小孩子的年龄是8
第3个小孩子的年龄是10
第2个小孩子的年龄是12
第1个小孩子的年龄是14
 '''

上述问题虽然简单，但能精确地描述递推算法的思想。

2.3 递归算法

具体解决问题时，总是一种算法借鉴另一种算法，或一个算法中融入另一种算法。算法之间互相交织、迭代而诞生出新的算法。

前文所说，穷举才是计算机的本质，其它算法无非是通过分析问题、发现规律、减少算法的实施过程中的次数。

什么是递归算法？

通过不停调用函数本身从而达到解决问题的目地。

如现实生活中经常会遇到的问题，我要找到小王的电话号码，可以帮助理解递归过程。

想知道朋友小王的电话号码，先找到朋友小李，小李说他也没有，但是他会帮问问小张,小张说他也没有，他会问问小胡，小胡说他知道。

这里面包括 2 条线。

• 递进线： 我-（问）->小李-(问)->小张-（问）->小胡(结果)。
• 回溯线： 小胡-(结果)->小张-(结果)->小李-(结果)->我。

递归算法的特点：

• 通过递进线寻求帮助。递推线的最终必须有能得到帮助的时候（如最后小胡知道小王的电话号码），否则会成为死结。表现在编码实施过程中需要有调用终止的时候。
• 通过回溯线求解出原始问题。

前面的斐波拉契数列也可以使用递归算法解决。比如说，想知道在第 12 位置的数字是多少。

• 递进线：求数列第 12位置的值，求助于第 11位置的值，然后再求助于第 10的值， 一至求助到第 1,2位置。
• 回溯线：通过回溯求解出原始问题。

def fb(pos):
    if pos == 1 or pos == 2:
        # 求助的终点
        return 1
    # 求助
    return fb(pos - 1) + fb(pos - 2)
res = fb(12)
print(res)

求解年龄的问题也可以使用递归算法实现。

def get_age(number):
    if number == 5:
        return 6
    return get_age(number + 1) + 2
print(get_age(1))

递归算法可以用于 2 类问题的求解：

• 替代循环语法结构。一个函数就是一个逻辑实现的封装，反复调用自己，则可认为重复执行相同逻辑。

  递归比循环的性能低下。能使用循坏解决的问题就不要使用递归。

• 一个看似复杂的问题，其实最终答案归结到一个小问题上，如求阶乘、斐波拉契之类的问题。

  递归更多应用于此类型问题的求解。

斐波拉契和求年龄的问题即可以使用前文的递推算法思想实现，也可以使用递归算法实现。说明：

• 解决一个问题不能拘泥一种方案。

• 算法与算法之间会有重叠、借鉴、融合之处。

  任何语言都提供有递归调用方式。可以利用递归的特点对数据进行处理。

递归的底层依赖于栈数据结构，递归的具体细节本文不做太多讲解，本文意在概括常见算法。

在算法理论中，回溯本身就是一种算法方案，可独立解决很多实际问题。

回溯法是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种确定的计算法则来求解，但可以利用回溯的技术求解。回溯法是搜索算法中的一种控制策略。

它的基本思想是：从问题的某一种状态（一般是默认的初始状态）出发，搜索从这种状态出发所能达到的所有“状态”，当一条路走到“尽头”的时候，先退几步，接着从另一种可能的“状态”出发，继续搜索，直到所有的“路径”都尝试过。

回溯思路在我们在现实生活中无处不在，对此体现的较具体的就是下棋，还有一个典型的应用就是走迷宫。

因回溯已经内置在递归算法中，一般需要使用回溯解决的问题，都会用到递归。

2.4 分治思想

将一个计算复杂的问题分为若干子问题来进行求解，然后合并各个小问题得到原始问题的最终求解。

分治算法的特点：

• 原始问题和分解出来的子问题的问题形式相同，只是数据规模不相同，也就是说无论是原始问题，还是分解后的子问题，都在解决同一个问题。
• 分解出来的子问题具有完全独立性，子问题是原始问题的缩影。

分治算法实时有 2 个过程：

• 分治： 原始问题能分解成若干较小的相同问题，子问题因规模较小，更容易求解到答案。
• 合并： 合并子问题得到原始问题的求解。

因子问题与原始问题相同，一般会使用递归算法多次迭代。

如二分查找以及快速排序，都是分治的思想的应用。

二分查找的具体实现过程，请查阅我的博文：https://blog.51cto.com/gkcode/5250956

快速排序的具体的实现过程，请查阅我的博文：https://blog.51cto.com/gkcode/5195936

2.5 贪心算法思想

贪心算法总是做出在当前看来最好的选择，并从不整体最优考虑，只是局部最优秀。虽然贪心算法总是从局部最优求解，但有时也有可能让最终求解也是最优的。

贪心算法的特点：

• 不能保证最后的解是最优的。

• 不能用来求最大或最小解问题。

• 只能求满足某些约束条件的可行解。

贪婪算法最典型的案例：找零钱。

问题描述：在超市购物时，收银员找零钱时，如何使找回零钱的纸币数最少。

贪心算法的思路是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各种币种。也就是先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。

这里的贪心表现在最大可能使用最大金额的币种。显然，贪心算法在此问题上是可行的。

编码实现：

假设人民币有 100、50、20、10、5、2、1、0.5、0.1几种面额，且数量无限，找零钱时，请尽量实现找给顾客的零钱所用到的币种的总数量最少。

# 币种
bi_zhongs = [100, 50, 20, 10, 5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1]
# 记录最终结果
dic = {}

# 找霍
lq = 68.9
# 为了便于计算，扩大100倍
lq = lq * 100
for i in range(len(bi_zhongs)):
    if lq >= bi_zhongs[i] * 100:
        # 计算张数
        count = lq // (bi_zhongs[i] * 100)
        dic[bi_zhongs[i]] = int(count)
        # 余额
        lq = lq % (bi_zhongs[i] * 100)
    if lq == 0:
        break
# 输出每一种币种的数量
print(dic)
'''
输出结果：
{50: 1, 10: 1, 5: 1, 2: 1, 1: 1, 0.5: 1, 0.2: 2}
'''

3. 总结

本文介绍了常见的几种基础算法 ，除些之外，还有更多算法思想。如动态规划、摸拟思想……限于篇幅原因，本文中即不一一罗列，也不深研算法内在细节。

后续会为某些经典算法单独开文，详细介绍其算法的微妙之处。

万变不离其宗，研究算法时即要做到能对各种算法独立分析，又要做到融合贯通。