数论-最小公倍数、整数的唯一分解定理、一次不定方程

最小公倍数

定义：a1,...an(n≥2)，m 为a1,...an的公倍数，[a1,a2,...an]代表为a1,...an的最小公倍数

用数学公式表示为以下：

①ai|[a1,a2,...an],i≤1≤n

②?m,a1|m,a2|m,...an|m(m>=1),且m>=[a1,a2,...,an]

定理一：若a|m,b|m,则[a,b]|m

定理二：[a,b]=a*b/(a,b)

证明：设m=[a,b]*q+r,0≤r<[a,b]

　　∵a|m,∴a|[a,b]

　　∴a|r

　　同理可得，b|r,故[a,b]|r

　　若r>=1,则[a,b](最小公倍数)<=r(公倍数)

　　∵r<[a,b]，结论与实际相矛盾，故假设不成立，故r=0

又∵a=((a*b)/[a,b])*([a,b]/b)，故(a*b/[a,b])|a

同理可证(a*b/[a,b])|b

即(a*b/[a,b]) | (a,b)

得： a*b/[a,b]<=(a,b) 。。。①

又∵a*b/[a,b]=a*(b/[a,b])，故a|(a*b/[a,b])

同理可知，b|(a*b/[a,b]),即(a,b)|(a*b/[a,b])

故(a,b)<=(a*b/[a,b])。。。②

结合①和②可知，[a,b]=a*b/(a,b)

得证

定理二：设a1,a2,...,an(∈Z),n>=2，则[a1,a2,...an]=mn

证明：

[a1,a2]=m2,[m2,a3]=m3

故a1|m2,a2|m2  , m2|m3,a3|m3

∴a1|m3,a2|m3,a3|m3

故[a1,a2,a3]|m3

设a1|m,a2|m,a3|m，即m为a1,a2,a3的倍数

∵[a1,a2]=m2，故m2|m

∵[m2,a3]=m3，故m3|m

即m3<=m

故m3为公倍数中的最小值，以次类推至n种情况，得证

整数的唯一分解定理

素数定义：?d∈Z+,d|P

合数定义：?d,d1,1

引理1：若a∈Z,a≥2,q是a中≥2的最小因子，则q是素数，当a时合数时，q≤根号a

证明：

①假设q为合数，则q=d*d1,∴2≤d,d1

∴d|q又∵q|a,故d|a->d为a的因子且d

所以d为素数

②若a为合数，则a=q*q1

∵q<=q1

故q*q<=q*q1

即q*q<=a

所以q<根号a

引理2：若p为素数，?a∈Z,则p|a或(p,a)=1(整数与素数之间的关系)

引理3：若p为素数，p|a*b,则p|a或p|b

定理：?a=2，?p1≤p2≤...≤pn(pi均为素数)，使得a=p1*p2*...*pn,且若q1≤q2≤...≤qn是素数，且a=q1*q2*...*qm，则m=n,qi=pi(满足这样的素数唯一)

一次不定方程

二元不定方程：

a1*x+a2*y=n   (a1,a2≠0)   ①

定理1：①有解，当且仅当(a1,a2) | n

定理2：若(a1,a2)=1,则①的全部解为

x=x0+a2*t

y=y0-a1*t,其中x0,y0是①的一组解(t∈Z)