通过欧拉计划学Rust编程（第500题）

由于研究Libra等数字货币编程技术的需要，学习了一段时间的Rust编程，一不小心刷题上瘾。

“欧拉计划”的网址： https://projecteuler.net

英文如果不过关，可以到中文翻译的网站： http://pe-cn.github.io/

这个网站提供了几百道由易到难的数学问题，你可以用任何办法去解决它，当然主要还得靠编程，编程语言不限，论坛里已经有Java、C#、Python、Lisp、Haskell等各种解法，当然如果你直接用google搜索答案就没任何乐趣了。

这次解答的是第500题：

https://projecteuler.net/problem=500

题目描述：

120的因子个数为16，事实上120是最小的有16个因子的数。

找出最小的有2^500500个因子的数，给出这个数除以500500507的余数。

解题过程：

直接看最终的问题，2^500500是个天文数字，肯定不能用蛮力。遇到一个复杂的问题，可以先尝试解决简单的情况，然后慢慢逼近最终的问题。

第一步： 从简单的情况入手找规律：

第650题里解决过因子个数的公式，还可以计算出所有因子之和。

fn min_number_has_factors(x: u64) -> u64 {
    for n in 2.. {
        let groups = factors_group(n);
        let factors_num = groups.iter().map(|(_, x)| x + 1).product::();
        if factors_num == x {
            println!("{}, divisors num: {}", n, factors_num);
            print_factors_group(groups);
            return n;
        }
    }
    0
}

// 如果一个数有这些因子：[2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 7]
// 则得到：[(2,2), (3,4), (5,1), (7,1)]
fn factors_group(n: u64) -> Vec<(u64, u64)> {
    let factors = primes::factors(n);
    let groups = factors
        .iter()
        .group_by(|e| **e)
        .into_iter()
        .map(|(k, group)| (k, group.count() as u64))
        .collect::>();
    groups
}

fn print_factors_group(groups: Vec<(u64, u64)>) {
    println!(
        "{}",
        &groups
            .iter()
            .map(|(k, v)| k.to_string() + &"^" + &v.to_string())
            .join(" * ")
    );
    println!(
        "divisors num:  {}",
        &groups
            .iter()
            .map(|(_, v)| "(".to_string() + &v.to_string() + &"+1)")
            .join(" * ")
    );
}

现在先尝试计算几个，慢慢寻找规律。

min_number_has_factors(4); // 2^2
min_number_has_factors(8); // 2^3
min_number_has_factors(16); // 2^4
min_number_has_factors(32); // 2^5
min_number_has_factors(64); // 2^6
min_number_has_factors(128); // 2^7
min_number_has_factors(256); // 2^8

结果有：

6 = 2^1 * 3^1
因子个数 4=  (1+1) * (1+1)

24 = 2^3 * 3^1
因子个数 8 = (3+1) * (1+1)

120 = 2^3 * 3^1 * 5^1
因子个数 16 =  (3+1) * (1+1) * (1+1)

840 = 2^3 * 3^1 * 5^1 * 7^1
因子个数 32 = (3+1) * (1+1) * (1+1) * (1+1)

7560 = 2^3 * 3^3 * 5^1 * 7^1
因子个数 64 = (3+1) * (3+1) * (1+1) * (1+1)

83160 = 2^3 * 3^3 * 5^1 * 7^1 * 11^1
因子个数 128 = (3+1) * (3+1) * (1+1) * (1+1) * (1+1)

1081080 = 2^3 * 3^3 * 5^1 * 7^1 * 11^1 * 13^1
因子个数 256 = (3+1) * (3+1) * (1+1) * (1+1) * (1+1) * (1+1)

第二步： 努力寻找规律

通过分析几个简单的特例，将一般性的公式推导出来，需要运用基础的数学知识。

一个数n可以分解成如下形式，其中pi为素数因子。

那么，它的因子个数为：

最终的因子个数可以表示为2 ^ 500500形式，令：

则有：

最终的结果要让[b0, b1, b2...bi]的和为500500。现在来看一下这个数组是如何变化的，找出递推的规律。

因子个数 2 =  (2^1) 
[b0] = [1]

因子个数 4 =  (2^1) * (2^1)
[b0,b1] = [1,1]

因子个数 8 = (2^2) * (2^1)
[b0,b1] = [2,1]

因子个数 16 =  (2^2) * (2^1) * (2^1)
[b0,b1,b2] = [2,1,1]

因子个数 32 = (2^2) * (2^1) * (2^1) * (2^1)
[b0,b1,b2] = [2,2,1]

因子个数 64 = (2^2) * (2^2) * (2^1) * (2^1)
[b0,b1,b2,b3] = [2,2,1,1]

因子个数 128 = (2^2) * (2^2) * (2^1) * (2^1) * (2^1)
[b0,b1,b2,b3,b4] = [2,2,1,1,1]

因子个数 256 =  (2^2) * (2^2) * (2^1) * (2^1) * (2^1) * (2^1)
[b0,b1,b2,b3,b4,b5] = [2,2,1,1,1,1]

这里需要足够的耐心，这个bi数组或者在末尾增加一个元素1，或者在前面的某个位置上数值增1。

如果其中的某一项增1，则数值增加：

如果尾部增加一项，数值增加：

上面的数值中，哪一项更小，则表示或者在尾部增加一个，或者原数组中的数值增1。

最后的代码：

fn p500(n: usize) -> u64 {
    let mut pset = PrimeSet::new();
    let primes: Vec<_> = pset.iter().take(n).collect();
    let primes_log: Vec<_> = primes.iter().map(|x| (*x as f64).log10()).collect();

    let mut b = vec![1];
    for _i in 2..=n {
        let mut min = primes_log[b.len()];
        let mut pos = b.len(); // 默认尾部增加一个
        for j in 0..b.len() {
            let temp = 2_f64.powf(b[j] as f64) * primes_log[j];
            if temp < min {
                pos = j;
                min = temp;
            }
            if b[j] == 1 {
                break; // 后面的都不用判断了
            }
        }
        if pos == b.len() {
            b.push(1);
        } else {
            b[pos] += 1;
        }
    }

    let mut result = 1_u64;
    for i in 0..b.len() {
        let exp = 2_u32.pow(b[i]) - 1;
        for _j in 0..exp {
            result = result * primes[i] % 500500507;
        }
    }
    result
}

--- END ---

我把解决这些问题的过程记录了下来，写成了一本《用欧拉计划学 Rust 编程》PDF电子书，请随意下载。

链接：https://pan.baidu.com/s/1NRfTwAcUFH-QS8jMwo6pqw

提取码：qfha

由于欧拉计划不让发布100题之外的解题步骤，否则封号，所以最新PDF不再公开，请加我微信（SLOFSLB）索要最新的PDF电子书。