背包问题
这里写了作者学过的一些背包问题的解法，希望能为新入门DP的OIer提供便利。
\(\LaTeX\) 懒得修了，凑合着看吧QwQ~
2019/11/25:更新了混合背包。
2020/09/24:更新了多重背包的二进制优化和加二进制优化后的混合背包~
01背包
01背包解决的就是有一堆东西，有体积量和价值，要放到一个容量为m的背包里，使得价值之和最大。
重点： 每个物品只有1个。
之所以叫01背包，因为没个物品就是取或不取，取是1，不取是0。
思路： 设\(dp_{i,j}\)表示前i个物品放到容量为j的背包中的最大价值，则
\(dp_{i,j}=max(dp_{i-1,j},dp_{i-1,j-w_i}+c_i)\)
\(dp_{i-1,j}\)表示不取这个东西，那么容量还是\(j\)。\(dp_{i-1,j-w_i}+c_i\)表示取，那么之前的容量就是\(j-w_i\)。
优化： 我们发现，我们只需要\(dp_{i-1}\)，而不需要更前面的数据，所以可以换成两个数组的滚动数组，然后，我们发现，只需要i之前的数保留即可，那么可以从后往前赋值，这样只要一个数组就能完成。
代码：
#include
using namespace std;
int n,m;
//n是物品数，m是背包容量
int w[505],c[505];
//wi表示第i个物品的重量，ci表示价值
int dp[6005];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]>>c[i];
for(int i=1;i<=n;i++)//枚举每个物品
for(int j=m;j>=w[i];j--)//枚举背包容量
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);
//状态转移方程
cout< 完全背包：
完全背包，就是一个物品能取无限次，求最大价值。
我们写01背包时之所以要从后往前，是要避免重复取一个东西，而完全背包就是一个物品能取无限次，所以只要把内层循环改成\(w_i\)~\(m\)即可。
代码：
#include
using namespace std;
int n,m;
//n是物品数，m是背包容量
int w[505],c[505];
//wi表示第i个物品的重量，ci表示价值
int dp[6005];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]>>c[i];
for(int i=1;i<=n;i++)//枚举每个物品
for(int j=w[i];j<=m;j++)//枚举背包容量
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);
//状态转移方程
cout< 多重背包
多重背包，第i个物品能取\(0\)~\(s_i\)个，求最大价值。
我们可以把多重背包的一个物品取多次看成多个一样的物品，例如，1号物品有2个，我们可以看成1和1。然后做01背包即可。
代码：
#include
using namespace std;
int n,m;
//n是物品数，m是背包容量
int w[505],c[505],s[505];
//wi表示第i个物品的重量，ci表示价值，si表示数量
int dp[6005];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>w[i]>>c[i]>>s[i];
for(int k=1;k<=n;k++)//枚举物品种类
for(int i=1;i<=s[k];i++)
//枚举这个种类的物品的个数
for(int j=m;j>=w[k];j--)//枚举背包容量
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[k]]+c[k]);
//状态转移方程
cout< 多重背包优化：二进制优化
在一些情况中，我们如果把多重背包当01背包来处理，数量太多了，这时我们就需要二进制优化。
二进制优化就是把多个一样的物品分为1个一组，2个一组，4个一组……n个一组，再把剩下来的搞成一组。
我们都知道我们可以用2的\(1\) ~ \(n\)次幂表示\(1\) ~ \(2^{n+1}-1\)的数，所以这样做是可行的。
例题
代码：
#include
#include
#include
#define rg register
using namespace std;
int T,n,m,mx,cnt,tmp;
int a[2005],v[2005];
int t[500005];
bool dp[500005];
inline int read()
{
int x=0;int f=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return x*f;
}
int main()
{
n=read(),m=read();
for(rg int i=1;i<=n;i++)
{
int aa,vv;
aa=read(),vv=read();
for(rg int j=1;vv-j>=0;j*=2)
{
a[++cnt]=j*aa;
vv-=j;
}
if(vv>0) a[++cnt]=vv*aa;
}
for(rg int i=1;i<=m;i++)
{
t[i]=read();
if(t[i]>mx) mx=t[i];
}
dp[0]=true;
for(rg int i=1;i<=cnt;i++)
{
while(dp[tmp]&&tmp<=mx) tmp++;
if(tmp>=mx) break;
int nd=max(tmp,a[i]);
for(rg int j=mx;j>=nd;j--)
if(dp[j-a[i]]) dp[j]=true;
}
for(rg int i=1;i<=m;i++)
if(dp[t[i]]) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
return 0;
} 分组背包
分组背包，就是把东西分成t组，每组最多取1个，最少不取，求最大价值。
我们可以把每组看成一样物品，只不过它的体积和价值是会变的，我们只要像做01背包那样，最后再循环判断每组里的物品就行了。
代码：
#include
using namespace std;
int n,m,t;
//n是物品数，m是背包容量，t是组数
int a[15][505];
//aij表示第i组的第j个物品的编号
int w[505],c[505];
//wi表示第i个物品的重量，ci表示价值
int dp[6005];
int main()
{
cin>>m>>n>>t;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int p;
cin>>w[i]>>c[i]>>p;
a[p][++a[p][0]]=i;//存储
}
for(int i=1;i<=t;i++)//枚举每组物品
for(int j=m;j>=0;j--)//枚举背包容量
for(int k=1;k<=a[i][0];k++)
//枚举每组中的每个物品
if(j>=w[a[i][k]])//判断是否可以放下这个东西
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[a[i][k]]]+c[a[i][k]]);
//状态转移方程
cout< 当然混合背包中的多重背包也能用二进制优化啦~
例题
代码：
#include
using namespace std;
int n,m,t;
//n是物品数，m是背包容量
int w[100005],c[100005];
//wi表示第i个物品的重量，ci表示价值
bool p[100005];
//pi表示状态
int dp[1005];
int tsh,tsm,teh,tem;
int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
int main()
{
scanf("%d:%d %d:%d %d",&tsh,&tsm,&teh,&tem,&n);
tsm+=tsh*60,tem+=teh*60;
m=tem-tsm;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int ww,cc,pp;
scanf("%d%d%d",&ww,&cc,&pp);
if(pp)
{
for(int j=1;pp-j>=0;j*=2)
{
t++;
w[t]=j*ww;
c[t]=j*cc;
p[t]=true;
pp-=j;
}
if(pp)
{
t++;
w[t]=pp*ww;
c[t]=pp*cc;
p[t]=true;
}
}
else
{
t++;
w[t]=ww;
c[t]=cc;
p[t]=0;
}
}
for(int i=1;i<=t;i++)//枚举每个物品
if(p[i])//如果是01
for(int j=m;j>=w[i];j--)//枚举背包容量
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);
//状态转移方程
else
for(int j=w[i];j<=m;j++)//枚举背包容量
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);
//状态转移方程
printf("%d\n",dp[m]);
return 0;
} 混合背包（01背包+完全背包+多重背包）
混合背包，就是将多种背包混合在一起，先看题：混合背包
那么这种情况，我们可以分类讨论。回望之前的01背包和完全背包的代码，我们会发现，只有第二重循环的顺序不同 （废话，就是只改了哪里） 那么我们就可以在第二重循环前判断即可。什么？你不知道哪个是完全背包哪个是01背包？搞个数组标记不就行了嘛。
然后来看多重背包，那这个更好解决了！只要在输入时预处理，关键部分根本没变。
代码：
#include
using namespace std;
int n,m,t;
//n是物品数，m是背包容量
int w[6005],c[6005],p[6005];
//wi表示第i个物品的重量，ci表示价值
//pi表示状态
int dp[1005];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int ww,cc,pp;
cin>>ww>>cc>>pp;
if(pp)
for(int j=1;j<=pp;j++)
{
t++;
w[t]=ww;
c[t]=cc;
p[t]=1;
}
else
{
t++;
w[t]=ww;
c[t]=cc;
p[t]=0;
}
}
for(int i=1;i<=t;i++)//枚举每个物品
if(p[i])//如果是01
for(int j=m;j>=w[i];j--)//枚举背包容量
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);
//状态转移方程
else
for(int j=w[i];j<=m;j++)//枚举背包容量
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);
//状态转移方程
cout< 持续更新中……只要这个蒟蒻学了新的背包类问题，就会更新。