基本流程

1.检验数据是否适合做主成分分析/是否需要主成分

• 本质：数据之间相关性较高则适合做主成分分析

• 检验方法：

  • KMO系数法
    KMO() 括号内填相关矩阵
    KMO系数 > 0.7，则认为适合做主成分（0.7 并不是严格规定，实际操作中 0.6 这样也不是不行）
  • barlett球形检验
    cortest.bartlett() 括号内填相关矩阵
    $ p<0.05 $ 认为适合做主成分分析

  一般来说，主要看bartlett球形检验

2.主成分提取
根据相关矩阵的特征根（的平方根）大小进行权重分配
princomp(X<原始样本>, cor = T) -> X
summary(X, loading = T)
样本信息保留 80%, 85%, 90% 可做主成分（比较主观）

实例

我们有 "工业数据.csv" 文件（如下图），文件内包含不同工业部门行业指标信息，对此进行主成分分析.

求解

Sep1. 配置主成分分析包

library(psych)

Step2. 导入数据

read.table("工业部门各行业指标.csv", sep = ",", row.names = 1, header = T) -> t
t

Step3. 计算相关矩阵

cor(t) -> t.cor

Step4. 检验是否适合主成分

• KMO法

KMO(t.cor)

## Kaiser-Meyer-Olkin factor adequacy
## Call: KMO(r = t.cor)
## Overall MSA = 0.46
## MSA for each item =
## X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
## 0.54 0.44 0.42 0.35 0.55 0.62 0.39 0.48

发现 MSA = 0.46 < 0.7

• bartlett 球形检验

cortest.bartlett(t.cor, n = length(t$X1))

## $chisq
## [1] 96.95727
##
## $p.value
## [1] 1.567814e-09
##
## $df
## [1] 28

发现 \(p << 0.05\)

虽然 KMO 检验未通过，但是 bartlett 检验通过了，可以认为适合做主成
分.

Step5. 主成分提取

princomp(t, cor = T) -> t.pca
summary(t.pca, loadings = T)

## Importance of components:
##                         Comp.1    Comp.2    Comp.3
## Standard deviation      1.7620762 1.7021873 0.9644768
## Proportion of Variance  0.3881141 0.3621802 0.1162769
## Cumulative Proportion   0.3881141 0.7502943 0.8665712
##                         Comp.4     Comp.5     Comp.6
## Standard deviation      0.80132532 0.55143824 0.29427497
## Proportion of Variance  0.08026528 0.03801052 0.01082472
## Cumulative Proportion   0.94683649 0.98484701 0.99567173
##                         Comp.7      Comp.8
## Standard deviation      0.179400062 0.0494143207
## Proportion of Variance  0.004023048 0.0003052219
## Cumulative Proportion   0.999694778 1.0000000000
##
## Loadings:
##    Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp.6 Comp.7 Comp.8
## X1 0.477  0.296  0.104         0.184         0.758  0.245
## X2 0.473  0.278  0.163 -0.174 -0.305        -0.518  0.527
## X3 0.424  0.378  0.156                      -0.174 -0.781
## X4 -0.213 0.451         0.516  0.539 -0.288 -0.249  0.220
## X5 -0.388 0.331  0.321 -0.199 -0.450 -0.582  0.233
## X6 -0.352 0.403  0.145  0.279 -0.317  0.714
## X7 0.215 -0.377  0.140  0.758 -0.418 -0.194
## X8        0.273 -0.891        -0.322 -0.122

结果解释：

• Standard deviation: 第一个主成分特征根的标准差
• Proportion of Variance: 第一个主成分在所有特征跟平方根的占比（权重）
• Cumulative Proportion: 之前所有主成分占比，因此最后一定是1
  • 一般所示样本不超过1/4，记主成分占比达85%或90%以上，这个比较主观的
• loadings（因子载荷）显示的是主成分权重信息
  • 第一个主成分 \(z_1(Comp.1) = 0.477x_1 + 0.473x_2 + \cdots + 0.215x_7\). 以此类推

前四个主成分保留了 94.68% 的原始数据信息，因此不妨取前四个为主成分

Step6. 数据标准化

scale(t) -> t.s

Step7. 计算各主成分得分

as.matrix(t.s) %*% t.pca$loadings -> temp

##      Comp.1    Comp.2    Comp.3     Comp.4
## 冶金 1.4752359 0.7586330 0.53804346 0.48981582
## 电力 0.4982149 -2.5916439 0.22831171 0.85190555
## 煤炭 1.0564432 -3.2255272 0.40941148 0.58246589
## 化学 0.4598646 1.1836386 -0.99768111 1.59955537
## 机器 4.5284817 2.2624411 0.46764480 -0.75806395
## 建材 0.3299732 -1.7736147 0.03113872 -0.93799882
## 森工 -1.1025047 -0.3179334 0.28182618 -0.69170879
## 食品 -2.1949756 2.2441391 1.09921449 0.55675111
## 纺织 -0.8411700 0.8956587 0.35286803 0.12852355
## 缝纫 -2.0318632 0.8251577 0.23105405 -0.51413084
## 皮革 -0.7133301 -0.7556065 -0.12255137 -1.11097884
## 造纸 -1.2014056 0.0303427 0.28702019 0.08174798
## 文教 -0.2629643 0.4643149 -2.80630062 -0.27788402

Step8. 对目标进行评价，计算得分

t.pca$sdev * temp -> t.fix
apply(t.fix[, 1:4], 1, sum) -> df
df

## 冶金       电力      煤炭      化学      机器
## 3.5032972 2.1515980 2.1615593 3.8545210 6.0625568
## 建材       森工      食品        纺织       缝纫
## -2.2161595 -0.1660242 3.2265730 -0.9075561 -4.1959795
## 皮革       造纸        文教
## -2.7935976 -0.7764028 -0.0840824

得出排名

sort(length(t$X1) + 1 - rank(df))

## 机器 化学 冶金 食品 煤炭 电力 文教 森工 造纸 纺织 建材 皮革
##    1   2   3   4   5   6   7    8   9   10   11   12
## 缝纫
##   13

结论

排名为