相抵与相似

写这篇小文章的原因是，之前自己学相似时候，各种概念在脑袋里绕来绕去绕不清楚。数学的定义倒是直白了，几何的含义一窍不通。现在倒是要讲给别人听了，自己想明白了但说不出来也不行，于是乎尝试用最简单的线性代数的语言，和高中水平的几何观点解释一下吧！定义和推导写得都不是很严谨，日后再修改补充。
再说两句题外话：今天有同学给我发了学院请的学长给大一做串讲的PPT，实话说，讲得并不好————避重就轻，思路混乱。去年更离谱，找了个大一的给大一的做串讲……实话说，相较于学院整体的工程化氛围，低年级的几门数学课还带有较为强烈的个人英雄主义色彩。不仅如此，同学们也大多沉浸在高中刷题的快感中无法自拔，学院自身也更注重编程等工程能力的训练，更何况基础课助教是面向全校招聘的，这就意味着助教水平的良莠不齐，这注定教学效果不会好到哪里去。谁会成为破局者吗？

等价即满足三个性质：

? （1）反身性：\(A\sim A\)

? （2）对称性：\(A \sim B \Longrightarrow B \sim A\)

? （3）传递性：\(A \sim B, B \sim C \Longrightarrow A \sim C\)

而矩阵的相抵、相似于合同都属于矩阵间的等价关系，其中相抵是最弱的等价关系。

从定义出发：

定义可逆矩阵\(P,Q\)
相抵：\(B=PAQ\)
相似：\(B=P^{-1}AP\)
相合：\(B=P^{T}AP\)

1.1 从基转换的角度 看待左乘、右乘矩阵

要解释右乘矩阵的具体含义，先明白基转换的表现形式：对于向量X：任给一组基，X在每个基向量上的投影分量可按序排成一组数。选取不同的基，投影分量随之改变，于是产生不同的一组数。这组数描述了X。

\(rank(A)=dim(R)\)，即所给基的向量个数等于的X维数时，X就能被这组基唯一表示，也就是说，这组基下的X能被这一组数唯一描述，称这一组数为X的坐标。那么，对于这个不动的X，不同基下的坐标就是各种各样对它的描述，随着基的改变而改变，但向量本身不改变。因此，对于单个向量而言，基的转换就是研究不同基下，X的坐标之间的关系。

1.1.1过渡矩阵

\[\begin{align} &给定基(A)=\left\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\right\},(B)=\left\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\right\}\\ &有关系式\left\{\begin{matrix} \beta_1=b_{11}\alpha_1+b_{12}\alpha_2+\cdots+b_{1n}\alpha_n\\ \beta_2=b_{21}\alpha_1+b_{22}\alpha_2+\cdots+b_{2n}\alpha_n\\\vdots\\ \beta_n=b_{n1}\alpha_1+b_{n2}\alpha_2+\cdots+b_{nn}\alpha_n \end{matrix}\right. ,即\left(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\right)=\left(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\right) \left[\begin{matrix} b_{11}&b_{12}\cdots b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}\cdots b_{2n}\\&\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}\cdots b_{nn} \end{matrix}\right]\cdots\cdots\underline{\textbf{(1)式}}\\ &\textbf{X}=Ax=\left(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\right) \left[\begin{array} xx_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right] =x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n\cdots\cdots\underline{\textbf{(2)式}}\\ &将(1)式代入(2)式可得：\textbf{X}=\left(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\right) \left[\begin{matrix} b_{11}&b_{12}\cdots b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}\cdots b_{2n}\\&\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}\cdots b_{nn} \end{matrix}\right]^{-1} \left[\begin{array} xx_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right], 记P= \left[\begin{matrix} b_{11}&b_{12}\cdots b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}\cdots b_{2n}\\&\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}\cdots b_{nn} \end{matrix}\right], 有X=BP^{-1}x \\ &其中\left[\begin{matrix} b_{11}&b_{12}\cdots b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}\cdots b_{2n}\\&\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}\cdots b_{nn} \end{matrix}\right]^{-1} \left[\begin{array} xx_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right]= \left[\begin{array} yy_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{array}\right]=y,是一组新的坐标,有P^{-1}x=y,即x=Py,X=By \\ &从而可知：\textbf{X}这个向量就有了两种描述方式：\quad\textbf{X}=Ax= \left(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\right) \left[\begin{array} xx_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right]= \left(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\right) \left[\begin{array} yy_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{array}\right]=By\\ &即\quad B=AP, 且y=P^{-1}x \end{align} \]

这里从过渡矩阵的角度给出了右乘矩阵 \(B=AP\) 的几何意义：基A向基B的转换。从列变换的角度看来：右乘矩阵P，是对于A的列向量的线性组合，是在原有基的基础上，构建一组新基。需要注意的是，矩阵A并不只有基底一种几何意义，它也能被看作为一个线性变换。

而对于向量\(X\)而言，其在\((A)\)基下的坐标\(x\)，和\((B)\)基下的坐标\(y\)满足关系式：\(y= P^{-1} x\)，这就是对于单个向量而言，基转换的公式。

需要注意的是，对于“原基”和“单个向量”的基转换公式是不同的。“基”或“线性变换”的坐标转换是右乘过渡矩阵P，而“单个向量”的基转换是左乘过渡矩阵的逆。再次放在一起对比：

\[B=AP,\ \ y=P^{-1}x（或x=Py） \]

其中向量\(y\)是\(X\)在基\(B\)下的表现形式，\(x\)是\(X\)在基\(A\)下的表现形式。即：

\[\textbf{X}=Ax=By \]

1.1.2 相似

按列分块的矩阵将右乘变为左乘

对于\(AX=b\)，\(b\)是以\(X\)的各分量为系数的\(A\)的列的线性组合，即：

\[\begin{align} &设A=A_{n\times n}，记X=\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)\\ &则有AX=A\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=\left(Ax_1,Ax_2,\cdots,Ax_n\right)=b=Ib\\ &\qquad\Longrightarrow \textbf{AX=Ib} \end{align} \]

而\(AX=b\)，也就是\(AX=Ib\)，其中\(I\)为单位矩阵。因此，可以看作\(A\)这组基下的\(X\)，就是\(I\)这组基下的\(b\)向量。而\(b=AX\)，完全等价于\(x=Py\)。这是对单个向量而言的（与上面1.1.1的内容完全等价，不过换了一种描述方法）。也就是说，等式两端都为矩阵乘以列向量的形式时，这两个列向量描述了不同基下的同一个向量，矩阵描述了基。（这里说的主要是可逆方阵，其余情况可以依次推广）

拿出很多\(X，m_1,m_2..m_n\)，这些单个向量以列向量的形式拼成一个方阵\(M\)。他们变换后的向量分别为\(b_1,b_2...b_n\)，写在一起就是\(AM=B\)，在这个式子里，矩阵\(A\)是以一个线性变换的身份出现的，而不再是一组基。如果把施加变换的矩阵记为\(Q\)，对象记为\(A\)、\(B\)，那么就可以写作\(B=QA\)，这就是矩阵\(Q\)左乘的一种解释：\(Q\)对\(A\)的每个列向量都施加了同样的线性变换，把\(A\)变成了\(B\)。

\[\begin{align} &A=\left(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\right)\\ &B=QA=\left(Q\alpha_1,Q\alpha_2,\cdots,Q\alpha_n\right)=\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right) \end{align} \]

回到原来1.1.1的例子上去：

\[\\B=AP,\ \ y=P^{-1}x\\ \]

\(B\)与\(y\)相对应，\(A\)与\(x\)相对应。此时\(B=QA\)公式重出江湖，用\(P^{-1}\)来替代\(Q\)，用\(AP\)来代替\(A\)。即：

\[\\B=QA=(P^{-1})(AP)=P^{-1}AP\\ \]

那么\(Q\)就不是简简单单一个线性变换了，它被赋予了几何意义：将矩阵\(AP\)中的每个列向量都转换成以\(P\)为基的。而\(AP\)中的每个列向量也有自己的几何意义：被用自然基衡量的，施加了过渡矩阵\(P\)的一个线性变换。那么相似矩阵的几何意义就可以被直观理解了。打个不太恰当的比方：我在60分及格的规定下考了60分，那么我刚刚及格。忽然发生了两件事：

1. 我的分数变成了90（对象变了）。
2. 90分变成了及格线（基也变了）。

那么我还是刚刚及格，这个性质丝毫没有发生变化。这就是相似矩阵的一种理解方式：线性变换还是那个线性变换，但是在不同的基下。这种理解方式还不是很清楚，也不一定正确，因为全程只引入了基的转换，也没有说为什么一组基就可以被同等看作一个线性变换，有换概念的嫌疑，不过勉强可以一观，或启发一些思考，遂记录。

? 举个例子：假定原向量m是在自然基下的向量，则有：

\[\\\begin{align} &\textbf{角度1}：左乘过渡矩阵，完成基的转换\\ &\qquad向量\vec{m}在自然基\quad\vec{i}=\left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right], \vec j=\left[\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right] 这组基下的坐标为：\vec{m}=\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]，\\ &\qquad\qquad即\vec{m}=I\cdot\vec{m}=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right]\vec{m}= 1\cdot\left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right]+1\cdot\left[\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right]\\ &\\&\qquad左乘矩阵A=\left[\begin{matrix}2&0\\0&-1\end{matrix}\right]后， \hat{\vec{i}}=\left[\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right], \hat{\vec{j}}=\left[\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right], \vec{m}在这组基下的坐标不改变。\\ &\qquad\qquad即 \hat{\vec{m}}=A\cdot\hat{\vec{m}}= \left[\begin{matrix}2&0\\0&-1\end{matrix}\right]\hat{\vec{m}}= 1\cdot\left[\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right]+1\cdot\left[\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right]\\ &\\&\textbf{角度2}：左边的矩阵代表基，右边的向量是这组基下的向量\\ &\qquad当然，也可以看作：\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}2&0\\0&-1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right] \end{align}\\ \]

1.2 从线性映射的角度看待左乘、右乘矩阵

1.2.1 相抵

在1.1中，对于相似矩阵的解释并不能完全让人信服，但它是一种从几何意义到定义式的正向思考：为什么我要在矩阵\(A\)左右两边各乘上\(P^{-1}\)和\(P\)？如果逆向思考：我手上已经有相似矩阵的定义式\(B=P^{-1}AP\)，再倒推回相似矩阵的几何意义，就比较好理解了。

先从跟为普遍的情形推起：\(B=QAP\)，由于\(Q\)是可逆的，也可以写作\(B=Q^{-1}AP\)，这就是相抵矩阵的定义式。而相似就是将\(Q\)换成了\(P\)，所以相似矩阵是一种特殊的相抵矩阵。

现在有一个线性映射

\[\Gamma：R^n \rightarrow R^m \]

，它可以表示为两个矩阵\(A\)，和\(B\)。

• \(A\)矩阵在\(R^n\)中的基为\((X)\)，在\(R^m\)中的基为\((Y)\)，即\(y=Ax\)
• \(B\)矩阵在\(R^n\)中的基为\((S)\)，在\(R^m\)中的基为\((T)\)，即\(t=Bs\)

再取Rn空间中的一个向量\(a\)，\(R^m\)空间中的一个向量\(b\)

• \(a=Xx=Yy\)（向量\(a\)在\((X)\)下的坐标为\(x\)，在\((Y)\)下的坐标为\(y\)）
• \(b=Ss=Tt\)（向量\(b\)在\((S)\)下的坐标为\(s\)，在\((T)\)下的坐标为\(t\)）

最后定义同在一个空间中的两组基之间的转换关系

• \(S=XP\)，即\(x=Ps\)
• \(T=YQ\)，即\(y=Qt\)

\[\begin{align} &(x=Ps,y=Qt) \longrightarrow y=Ax \ \Longrightarrow Qt=APs\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\Longrightarrow t=Q^{-1}AP\\ &(t=Bs,t=Q^{-1}AP)\longrightarrow\ B=Q^{-1}AP \end{align} \]

这就完整地从几何意义推出了相抵等价的定义式，其中\(P\)、\(Q\)代表了\(A\)、\(B\)两个矩阵在原空间和象空间的两组基之间的关系。由于Rn≠Rm，因此线性映射在两个空间内的基是可以自由选取的，也就是说P和Q是任意的——在任意的基XY下，线性变换表现为矩阵A，ST下表现为矩阵B，而X到S，Y到T的过渡矩阵都是可逆的。在这种情况下，矩阵A和B是相抵关系。

1.2.2 相似

从定义的角度出发，相似等价特殊就特殊在：原空间中AB的基的过渡矩阵，和映射后的空间中，AB的基的过渡矩阵，完全一致！这就说明了几层意思，我们一层层拆开来看。

1. 同一个空间内的过渡矩阵一定是方阵。原空间和映射后的空间的过渡矩阵一样，则说明了\(R_n=R_m\)，所以\(A\)和\(B\)一定是方阵。
2. \(R_n=R_m\)，则这两个空间是同构的，维数相同\(n=m\)，也就是等价的
3. 原空间和映射后的空间同构，也就说明了两个空间是一个空间，因此两组基必须得是一样的（即\(X=Y\)）
4. 所以，\(A\)和\(B\)映射前和映射后的对象始终在同一个线性空间中

所以说，相似变换仅针对方阵，且相似的两个矩阵是同一个线性空间中，不同基下的同一个线性变换。这样就有了直观上的相似的定义式来源：由于原空间和映射后的空间一样，线性变换在两个空间内选取的基必须得一样，自然过渡矩阵也一样，所以P=Q，直接代入上式可得：
\( B=P^{-1}AP \)
这种证明方式比起1.1.2中的要清楚一些，\(P^{-1}\)和\(P\)的来源也解释到了。不过1.1的思考也是必要的。

补充：相似的证明

这是书上给出的证明。为什么（*）这一步是成立的呢？

我们已经知道了，给定一组基时，一个线性变换可以被唯一表示。那么，设一个线性变换T，在两组基\(A\)下为M，即B下为N，就有：

\[\begin{align} &A=\left(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\right), B=\left(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\right)\\ &B=AP\ \Longrightarrow\ \left(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\right)=\left(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\right)P\\ &T(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)M\\ &T(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)N ………………(1)\\ &\qquad \qquad \qquad \quad\ = T[(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)P]\\ &\qquad \qquad \qquad \quad\ = [T(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)]P……………(*)\\ &\qquad \qquad \qquad \quad\ = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)MP\\ &\qquad \qquad \qquad \quad\ = (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)P^{-1}MP…………(2)\\ &(1)(2)\ \Longrightarrow\ N=P^{-1}MP \end{align} \]

* 小总结

1.1和1.2分别从两个角度思考了矩阵相乘的几何意义，我在这里系统地写一下：

• 右乘：\(B=AP\)：基\(A\)到基\(B\)的转换
• 右乘：\(B=AP\)：\(A\)中列向量的线性组合
• 左乘：\(B=PA\)：即\(IB=PA\)，左边的矩阵\(I\)和\(P\)是对于\(B\)和\(A\)的环境声明
• 左乘：\(B=PA\)：\(A\)中所有列向量经过\(P\)的线性映射变成\(B\)
• \(B=Q^{-1}AP\)：\(Q\)是原空间中\(A\)到\(B\)的基的过渡矩阵，\(P\)是像空间中\(A\)到\(B\)的基的过渡矩阵

补充：既然一个矩阵即可以被看做线性变换，也可以被看作基，那么它们之间的几何意义一定具有某种联系。稍加思索可以得知：基的变换就是基下向量的线性变换，不过一个是物体在运动，一个是参照系在运动。这只是选取参照系的角度不同罢了。从这个角度或可解释1.1.1中为什么对于向量和基，其基转换的公式一个是右乘矩阵，一个是左乘矩阵的逆。

注：也可参考四个子空间的角度。在此做一笔小注，以期日后补充。

注：有云：左乘矩阵是基不变，空间里的东西做线性变换；右乘矩阵是基变。