数论学习笔记

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定义

一些概念

• 数论函数（算术函数）

定义域为正整数，陪域为复数的函数。每个算术函数都可视为复数的序列。

最重要的算术函数是积性及加性函数。算术函数的最重要操作为狄利克雷卷积。

• 积性函数

满足

\[gcd(a, b)=1\quad f(ab)=f(a)f(b) \]

则 \(f\) 是积性函数。

同理有加性函数

• 完全积性函数

\[\forall a,b\quad f(ab)=f(a)f(b) \]

同理有完全加性函数

• 艾弗森约定（艾佛森括号）

\[[P]= \begin{cases} 1 &\text{If P is true;}\\ 0 &\text{Otherwise.} \end{cases} \]

• **符号函数 **

\[\operatorname{sgn} x= \begin{cases} -1 &x<0\\ 0 &x=0\\ 1 &x>0 \end{cases} \]

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一些数论函数

• 欧拉函数

\(\varphi(n)\) 是小于等于 \(n\) 的正整数中与 \(n\) 互质的数的数目

\[\varphi(n)=\sum\limits_{d\le n}[\gcd(d,n)=1]\\ \varphi(n)=n\times\prod\limits_{P_i\mid n}\frac{P_i-1}{P_i}\qquad P_i\in\mathbb{P} \]

• 恒等函数

\[I(n)=1 \]

• 单位函数

\[id(n)=n \]

• 幂函数

\[I_k(n)=n^k \]

• 单位元函数

\[\varepsilon(n)=[n=1] \]

• 莫比乌斯函数

\[\mu(n)= \begin{cases} 1 &n=1\\ 0 &n=k^2\times t\quad (k>1)\\ (-1)^c &n=\prod\limits_{i=1}^cP_i\quad (P_i\in\mathbb{P}) \end{cases} \]

• 约数个数函数

\[d(n)=\sum\limits_{i=1}^n[i\mid n] \]

• 约数和函数

\[\sigma(n)=\sum\limits_{i\mid n}i \]

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狄利克雷卷积

定义

卷积（又称叠积（convolution）、褶积或旋积），是透过两个函数 \(f\) 和 \(g\) 生成第三个函数的一种数学算子。狄利克雷卷积是其中的一种。

狄利克雷卷积是定义在数论函数集上的一种二元运算，相当于是在这个定义上的一种乘法，而普通函数加法就是该定义上的加法。

\[(f\ast g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\cdot g(\frac nd) \]

运算

就和一般实数上的乘法与加法十分类似

• 交换律： \(f\ast g=g\ast f\)

• 结合律： \((f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)\)

• 分配率： \(f\ast (g+h)=f\ast g + f\ast h\)

正如实数中有 \(\forall n,\ 1\times n=n\) 及 \(\forall n\ne0,\ n\times n^{-1}=1\) 一样，这里也存在**单位元函数 \(\varepsilon\) **，使得

• \(\forall f,\ f\ast\varepsilon=\varepsilon\ast f=f\)
• \(\forall f(1)\ne0,\ f\ast f^{-1}=\varepsilon\)

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定理

一些定理

1. 两个积性函数的狄利克雷卷积一定也是一个积性函数。

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一些等式

\[\begin{align*} &I\ast I=d \qquad&(1)\\ &I\ast id=\sigma &(2)\\ &\varphi\ast I=id &(3)\\ &I\ast\mu=\varepsilon &(4) \end{align*} \]

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证明 \((4)\)? ：

\[\because \varphi\ast I=id\\ id\ast\mu=\varphi\\ \therefore \varphi\ast I\ast\mu=\varphi=\varphi\ast\varepsilon\\ \therefore I\ast\mu=\varepsilon \]

即 \(I\) 与 \(\mu\) 互为反函数， \(I=\mu^{-1},\ \mu=I^{-1}\)

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\[\begin{align*} &d(ij)=\sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}[\gcd(x,y)=1]\qquad&(5)\\ &\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n &(6)\\ &\mu\ast id=\varphi &(7)\\ \end{align*} \]

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证明 \((7)\)? ：

\[\begin{align*} \because\mu\ast I&=\varepsilon\\ \therefore id\ast\mu\ast I&=id\ast\varepsilon=id\\ \because\varphi\ast I&=id\\ \therefore id\ast\mu&=\varphi \end{align*} \]

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莫比乌斯反演

性质

莫比乌斯函数不仅是积性函数，还有如下性质：

\[\sum_{d\mid n}\mu(d)= \begin{cases} 1\quad n=1\\ 0\quad n\ne1 \end{cases} \]

结论

结论 1

\[F(n)=\sum_{d\mid n}f(d) \implies f=\mu\ast F \]

称数论函数 \(F(n)\) 为数论函数 \(f(n)\) 的莫比乌斯变换，数论函数 \(f(n)\) 为数论函数 \(F(n)\) 的莫比乌斯逆变换（反演）。

证明：

\[\because F(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\times1=\sum_{d\mid n}f(d)I(\frac nd)\\ \therefore F=f\ast I\\ \because I\ast\mu=\varepsilon\\ \therefore F\ast\mu=f\ast\varepsilon\\ \therefore f=\mu\ast\varepsilon \]

结论 2

\[[P=1]=\sum_{d\mid P}\mu(d) \]

证明：

\[\begin{align*} [P=1]&=\varepsilon(P)\\\\ &=(I\ast\mu)(P)\\\\ &=\sum_{d\mid P}\mu(d) \end{align*} \]

应用：

例 1

\[[\gcd(i,j)=1]=\sum_{d\mid \gcd(i,j)}\mu(d)=\sum_{d\mid i\and d\mid j}\mu(d) \]

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模板代码

线性筛

许多积性函数对质数有特殊性质，使得我们可以简单地计算函数值，

同时，又因为任意两个质数互质，于是我们可以利用质数和数论函数的积性筛出更一般的数的函数值。

使用线性筛可以 \(O(n)\) 地筛出大部分积性函数的值。

欧拉函数

#include 
#include 
int n, phi[N];
std::vector prime;//筛出的质数
std::bitset cmpst;//composite 合数
inline void Euler() {
    cmpst.reset();
    phi[1] = 1;//特殊值
    for (register int i=2, tmp; i<=n; ++i) {
        if (!cmpst[i]) {
            prime.push_back(i);
            phi[i] = i-1;//质数的phi值
        }
        for (register int p : prime) {
            tmp = i*p;
            if (tmp > n) break;
            cmpst[tmp] = 1;//标记合数
            if (i%p == 0) {//线性筛的核心操作：此时p是i的最小质因数
                phi[tmp] = phi[i] * p;
                break;
            } phi[tmp] = phi[i] * phi[p];//合数的phi值，利用phi的积性
        }
    }
}

莫比乌斯函数

#include 
#include 
#define N 50030
int mu[N];
bitset nap;//not a prime
vector prime;
inline void seive(int n = N - 20) {
	mu[1] = 1; nap[1] = 1;
	for (rg int i=2; i<=n; ++i) {
		if (!nap[i]) {
			mu[i] = -1;
			prime.push_back(i);
		}
		for (rg int p : prime) {
			if (i * p > n) break;
			nap[i * p] = 1;
			if (i % p == 0) { mu[i * p] = 0; break; }
			mu[i * p] = -mu[i];
		}
	}
}

整除分块（数论分块）

对于多组询问求形如下式的值

\[\sum_{i=1}^n S(\lfloor\frac ki\rfloor)f(i) \]

其中 \(S\) 与 \(f\) 都是可以 \(O(1)\) 求值的函数

我们可以使用整除分块将其从 \(O(n)\) 优化至 \(O(\sqrt n)\) 。

原理：当 \(i\) 在一些区间 \([l,r],\ l,r\in[1,n]\) 中时， \(\lfloor\frac ki\rfloor\) 为定值。

我们可以在预处理中将 \(f\) 前缀和为 \(sum\_f\)

已知 \(l,k\) ，我们可以 \(O(1)\) 求出 \(r=\lfloor\frac k{\lfloor \frac ki\rfloor}\rfloor\) 。。

特别注意：有时候 \(i>k\) 了就会出现除以 0 的情况。（易知当 \(k\ge n\) 时不会出现）

int ans = 0;
for (int l=1, r; l<=n; l=r+1) {
    r = (l > k) ? n : min( k / (k / l), n );
    ans += S(l) * ( num_f(r) - sum_f(l-1) );
}
return ans;

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典型例题

GCD - Extreme (II)

UVA11426

\(1\le n\le4\times10^6+1\) ，数据组数： \(T\le100\) ，求：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n\gcd(i,j) \]

解：

\[\begin{align*} \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n\gcd(i,j)&= \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{j-1}\gcd(i,j)\\ &=\sum_{d=1}^nd\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{j-1}[\gcd(i,j)=d]\\ &=\sum_{d=1}^nd\sum_{j=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{i=1}^{j-1}[\gcd(i,j)=1]\\ \end{align*} \]

注意到：

\[\because \varphi(j)=\sum_{i=1}^j[\gcd(i,j)=1]\\ \therefore \sum_{i=1}^{j-1}[\gcd(i,j)=1]= \begin{cases} 0&j=1\\ \varphi(j)\quad&j>1 \end{cases}\\ \]

于是我们定义 \(\varphi\) 的从 2 开始的前缀和 \(\operatorname{\varphi_s}(x)=\sum\limits_{i=2}^x\varphi(i)\) ，它可以用线性筛筛出来后 \(O(1)\) 求出。

那么继续：

\[\begin{align*} \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n\gcd(i,j) &=\sum_{d=1}^nd\sum_{j=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{i=1}^{j-1}[\gcd(i,j)=1]\\ &=\sum_{d=1}^nd\times\operatorname{\varphi_s}(\lfloor\frac nd\rfloor) \end{align*} \]

利用整除分块，可以做到 \(O(n+T\sqrt n)\)

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[NOI2010] 能量采集

P1447