[题解] 丘比特的烦恼

前言

文化课选手，最近没多少时间写题解，这题做了快两周了。若题解有误，欢迎指出。

题目链接

题目大意

在平面直角坐标系内，有 \(n\) 个男性， \(n\) 个女性。将这些男女配对，每对男女若配对成功，将做出贡献，这些贡献会在输入中描述，若没有描述，则贡献为 \(1\) 。配对是有条件的，若在平面直角坐标系内的，将这对男女用线段连起来，若中间没有别的人（不分男女），且两点之间的距离小于一个定值，则可以配对，反之不能。求做的最大贡献。（注意，没有基友，不能百合，不能开后宫！！！）

易错点

其实是输入问题。

  • 不区分大小写，先将名字全部转换为大写或小写。
  • 没有描述的人之间贡献为 \(1\) 。

注意点就好了。

思路

男男女女的配对问题，很容易就想到是二分图带权匹配。其中，男性为左部点，女性为右部点，花费就为做的贡献。可以使用 \(KM\) 算法，但这里介绍使用费用流求解的二分图带权匹配。

费用流如何来求解二分图的带权匹配很简单：将源点与左部点连接起来，将汇点用右部点连接起来，左部点与右部点该咋连就咋连。其中，每条边的容量为 \(1\) ，花费就为这条边的贡献。

结合图像理解：
在这里插入图片描述

在本张路中，绿色的点是源点，粉色的点是汇点，红色的点是左部点，蓝色的点是右部点。

先明确匹配的一条重要性质：每个点只有能有一条匹配边。也就意味着每个点只能被利用一次。而源点与汇点就很好地限制了每个点的利用，源点到达汇点只需要经过 \(3\) 条边，且严格遵守源点->左部点->右部点->汇点这条路径走。对于 \(1\) 条匹配边来说，它会消耗源点到达它的左部点，它的右部点到达汇点这条边，这就意味着它的左部点和右部点不能再次利用，从而满足匹配的这条性质。

故而，按照上述方法建一张网络，对与这张网络跑一边最大费用最大流即可。本文使用著名又基础的 \(Edmond-Karp\) 算法实现。

C++代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define eps 1e-100
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Swap(a, b) ((a) ^= (b) ^= (a) ^= (b))
void Quick_Read(int &N) {
	N = 0;
	int op = 1;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') {
		if(c == '-')
			op = -1;
		c = getchar();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9') {
		N = (N << 1) + (N << 3) + (c ^ 48);
		c = getchar();
	}
	N *= op;
}
struct Node {
	int to, val, cost, rev;
	Node() {}
	Node(int T, int L, int C, int R) {
		to = T;
		val = L;
		cost = C;
		rev = R;
	}
};
const int MAXN = 1e4 + 5;
vector v[MAXN];
map name;
int ship[MAXN][MAXN];
int x[MAXN], y[MAXN];
int k, n, s, t;
deque q;
int dis[MAXN], maf[MAXN];
pair pre[MAXN];
bool inque[MAXN];
int ans;
bool SPFA() {//寻找增广路
	int iqn = 1, fis = 0;
	for(int i = 0; i <= 2 * n + 1; i++)
		inque[i] = false, dis[i] = -INF, maf[i] = INF;
	dis[s] = 0;
	inque[s] = true;
	q.push_back(s);
	while(!q.empty()) {
		int now = q.front(); q.pop_front();
		inque[now] = false;
		fis -= dis[now];
		iqn--;
		int SIZ= v[now].size();
		for(int i = 0; i < SIZ; i++) {
			int next = v[now][i].to;
			if(dis[next] < dis[now] + v[now][i].cost && v[now][i].val) {
				dis[next] = dis[now] + v[now][i].cost;
				maf[next] = Min(maf[now], v[now][i].val);
				pre[next].first = now;
				pre[next].second = i;
				if(!inque[next]) {
					inque[next] = true;
					if(q.empty() || dis[next] < dis[q.front()] || dis[next] * iqn >= fis)
						q.push_back(next);
					else
						q.push_front(next);
					fis += dis[next] + v[now][i].cost;
					iqn++;
				}
			}
		}
	}
	return dis[t] != -INF;
}
int Update() {//沿着增广路增广
	int now = t;
	while(now != s) {
		int next = pre[now].first;
		int i = pre[now].second;
		v[next][i].val -= maf[t];
		v[now][v[next][i].rev].val += maf[t];
		ans += v[next][i].cost * maf[t];
		now = next;
	}
	return maf[t];
}
int Edmond_Karp() {//最大费用最大流
	int res = 0;
	while(SPFA())
		res += Update();
	return res;
}
double Dist_From_To(int A, int B) {//两点间距离公式
	double frontx = (x[A] - x[B]) * (x[A] - x[B]) * 1.0;
	double fronty = (y[A] - y[B]) * (y[A] - y[B]) * 1.0;
	double dist = sqrt(frontx + fronty);
	return dist;
}
bool Judge_Dist(int A, int B) {//中间是否有人，是否在射程之内
	double dist = Dist_From_To(A, B);
	double maxdist = k * 1.0;
	if(dist > maxdist)
		return false;
	for(int i = 1; i <= 2 * n; i++) {
		if(i == A || i == B)
			continue;
		if(Dist_From_To(A, i) + Dist_From_To(i, B) - dist <= eps)
			return false;
	}
	return true;
}
void Convert_Big(string &str) {//名字转换为大写
	int SIZ = str.length();
	for(int i = 0; i < SIZ; i++)
		if(str[i] >= 'a' && str[i] <= 'z')
			str[i] += 'A' - 'a';
}
void Build() {//源点到左部点，右部点到汇点连边
	t = 2 * n + 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int idi = v[i].size();
		int ids = v[s].size();
		v[s].push_back(Node(i, 1, 0, idi));
		v[i].push_back(Node(s, 0, 0, ids));
	}
	for(int i = n + 1; i <= 2 * n; i++) {
		int idi = v[i].size();
		int idt = v[t].size();
		v[i].push_back(Node(t, 1, 0, idt));
		v[t].push_back(Node(i, 0, 0, idi));
	}
}
void Read() {
	int ValBtoG;
	string girl, boy;
	Quick_Read(k);
	Quick_Read(n);
	for(int i = 1; i <= 2 * n; i++) {
		Quick_Read(x[i]);
		Quick_Read(y[i]);
		cin >> boy;
		Convert_Big(boy);
		name[boy] = i;
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = n + 1; j <= 2 * n; j++)
			ship[i][j] = 1;
	cin >> boy;
	while(boy != "End") {
		Convert_Big(boy);
		cin >> girl;
		Convert_Big(girl);
		int B = name[boy], G = name[girl];
		if(G < B)
			Swap(B, G);
		Quick_Read(ValBtoG);
		ship[B][G] = ValBtoG;
		cin >> boy;
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = n + 1; j <= 2 * n; j++)
			if(Judge_Dist(i, j)) {
				int idi = v[i].size();
				int idj = v[j].size();
				v[i].push_back(Node(j, 1, ship[i][j], idj));
				v[j].push_back(Node(i, 0, -ship[i][j], idi));
			}
}
int main() {
	Read();
	Build();
	Edmond_Karp();
	printf("%d", ans);
	return 0;
}
二分图网络流『题解』

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