P1762 偶数&杨辉三角
P1762 偶数&杨辉三角(天立OI)
解题思路
一.结论法
杨辉三角形结论
-
第\(n\)行有\(n\)个数。
-
每行奇数个数必为\(2^k\)(\(k\)不是行数)
-
当行数恰为\(2^k\)时,奇数个数为\(2^k\)个,无偶数。
-
当行数恰为\(2^k\)时,其前\(2^k\)行有\(3^{(k-1)}\)个奇数。
-
前\(n\)行奇数个数(\(p\)):
\[\notag n=2^{k1}\times 2^{k2}\times 2^{k3}....\times 2^{kn}\\ p=1\times 3^{kn}+2\times 3^{kn-1}+2^2\times 3^{kn-2}+....+2^{n-1}\times 2^{k1} \] -
前\(n\)行偶数个数$(n-1)\times n /2 -p $
二.分析法
既然看不出来,那就打表(\(\bmod 2\)):
1 1
2 1 1
3 1 0 1
4 1 1 1 1
5 1 0 0 0 1
6 1 1 0 0 1 1
7 1 0 1 0 1 0 1
8 1 1 1 1 1 1 1 1 *****
9 1 0 0 0 0 0 0 0 1
10 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1
11 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
12 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 *****
13 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
14 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
15 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
这个就有规律了:
-
当\(n=2^k\)时,前面一共有\(3^k\)个\(1\)
-
当\(n!=2^k\)时,可以将\(n\)拆成\(n=2^{k1}\times 2^{k2}\times 2^{k3}....\times 2^{kn}\)
但这个又有什么用呢?不妨举个例子:
\[\notag n=12=2^3+2^2\\ 前n行奇数个数p\\ p=3^3+2*3^2\\ 看图(上面) \]
可以发现方法一里面的规律:
综上,下次遇见关于杨辉三角的题先打表!!
CODE
#include
#define ll __int128
using namespace std;
const ll maxn = 300;
ll int_maxn=1e9;
ll ll_maxn=1e18;
inline ll read_int(){
ll a=0,f=0,g=getchar();
while(g<'0'||g>'9'){if(g=='-') f=1;g=getchar();}
while('0'<=g&&g<='9') a=a*10+g-'0',g=getchar();
return f ? -a : a;
}
inline void write(ll s,bool f){
ll top=0,a[40];
if(s<0) s=-s,putchar('-');
while(s) a[++top]=s%10,s/=10;
if(top==0) a[++top]=0;
while(top) putchar(a[top]+'0'),top--;
if(f) putchar('\n');
}
ll n;
ll top=0,jz[10000],mod=1000003;
inline void er(){
ll m=n;
for(ll i=0;m;i++){
if(m&1) jz[++top]=i;
m>>=1;
}
}
inline ll qpow(ll n,ll c){
ll ans=1;
while(c){
if(c&1) ans=ans*n%mod;
n=n*n%mod,c>>=1;
}
return ans;
}
inline void read(){
n=read_int();
er();
ll a=1;
ll ans=0;
for(ll i=top;i>=1;i--){
ans=ans+a*qpow(3,jz[i])%mod;
a=a*2%mod;
ans%=mod;
}
ll L=(n+1)%2 ? n/2%mod*(n+1)%mod : (n+1)/2%mod*(n)%mod;
ans=L-ans;
write(ans<0 ? ans+mod : ans,1);
}
int main (){
read();
}