曲线积分和曲面积分

对弧长的曲线积分（第一类）
对坐标的曲线积分（第二类）
格林公式
对面积的曲面积分（第一类）
对坐标的曲面积分（第二类）
高斯公式

对弧长的曲线积分（第一类）

物理意义：密度不均匀的曲线质量；
几何意义:以xoy上的曲线L为准线。$z=f（x，y）$为上界，$z=0$为下界形成的曲顶柱面的面积。

化定积分：

1.L由参数方程给出

$L：x=x(t) , y=(t)(\alpha\leq t \leq\beta)$
$\int_Lf(x,y)ds$

\[=\int_\alpha^\beta f[x(t),y(t)] \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(x)]^2} dt \]

2.L由显函数给出

$L:y=y(x),x=x(a \leq b)$
$\int_Lf(x,y)ds$

\[=\int_a^bf[x,y(x)] \sqrt{1+[y'(x)]^2} dx \]

或

$L:x=x(y),y=y(c \leq d)$
$\int_Lf(x,y)ds$

\[=\int_c^df[y,x(y)] \sqrt{1+[x'(y)]^2} dy \]

3.L由极坐标给出

$L:r=r(\theta)(\alpha \leq \theta \leq \beta)$
则$\int_Lf(x,y)ds$

\[=\int f[r(\theta)cos\theta,r(\theta)sin\theta] \sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta \]

4.L空间中参数方程给出

与 “1” 同理

对坐标的曲线积分（第二类）

物理背景：变力沿曲线方向所做的功
几何意义：

化定积分：

（1）L由参数方程给出：

$L：x=x（t），y=y（t）（t：\alpha \rightarrow \beta$）
则$\int_L P(x，y)dx+Q(x,y)dy$

\[=\int_\alpha^\beta \{P[x(t),y(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t)]y'(t)\}dt \]

【空间曲线同理】

（2）L由显函数给出：

$L: y=y(x) (x: a \rightarrow b)$同样直接代入“消”去y，
则 $\int_L P(x，y)dx+Q(x,y)dy$

\[=\int_a^b \{P[x,y(x)]dx+Q[x,y(x)]y'(x)dy\} \]

格林公式

设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 所围成，函数 $P(x,y)$及$Q(x,y)$在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有$$\iint \limits_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_L Pdx+Qdy$$其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线.

详情于站内链接：“格林公式推导与应用”

对面积的曲面积分（第一类）

物理意义：密度不均匀面的质量
曲面积分

\[\iint\limits_\sum f(x,y,z)dS=\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \]

显函数给出：
转为二重积分计算：$dS=\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy$ (此时积分区域是曲面在$xOy$上的投影），再将$z$代掉用二重积分方法计算即可。

对坐标的曲面积分（第二类）

物理意义就是单侧曲面的流量

两条计算公式（化二次积分）：

\[\iint\limits_\sum P(x,y,z)dydz=\iint\limits_\sum P(x,y,z) cos\gamma dS=\iint\limits_D P(x(y,z),y,z)dydz \]
\[\iint\limits_\sum Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iint\limits_D \{P,Q,R\}\cdot (1,-\frac{\partial x}{\partial y},-\frac{\partial x}{\partial z}) dydz \]

（以上均为向$yOz$平面投影，向其他平面同理）

高斯公式

设空间有界闭合区域 $\Omega$，其边界 $\Omega$ 为分片光滑闭曲面。函数 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 及其一阶偏导数在 $\Omega$ 上连续，那么：$$\iiint\limits_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV=\oint\oint\limits_\sum Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$
或

\[\iiint\limits_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV=\oint\oint\limits_\sum (Pcos\alpha +Qcos\beta +Rcos\gamma )dS \]

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