深度学习教程 | 浅层神经网络
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本系列为吴恩达老师《深度学习专项课程(Deep Learning Specialization)》学习与总结整理所得，对应的课程视频可以在这里查看。
引言
在ShowMeAI前一篇文章 神经网络基础 中我们对以下内容进行了介绍：
- 二分类问题、逻辑回归模型及损失函数。
- 梯度下降算法。
- 计算图与正向传播及反向传播。
- 向量化方式并行计算与提效。
本篇内容我们将从浅层神经网络入手，逐步拓展到真正的神经网络模型知识学习。
1.神经网络表示
图示为两层神经网络，也可以称作单隐层神经网络(a single hidden layer neural network)。这就是典型的浅层(shallow)神经网络，结构上，从左到右，可以分成三层：
- 输入层(input layer)：竖向堆叠起来的输入特征向量。
- 隐藏层(hidden layer)：抽象的非线性的中间层。
- 输出层(output layer)：输出预测值。
注意：当我们计算网络的层数时，通常不考虑输入层。因此图中隐藏层是第一层，输出层是第二层。
有一些约定俗成的符号表示，如下：
- 输入层的激活值为\(a^{[0]}\)，隐藏层产生的激活值，记作\(a^{[1]}\)。
- 隐藏层的第一个单元(或者说节点)就记作\(a^{[1]}_1\)，输出层同理。
- 隐藏层和输出层都是带有参数\(W\)和\(b\)的，它们都使用上标[1]来表示是和第一个隐藏层有关，或者上标[2]来表示是和输出层有关。
2.计算神经网络的输出
2.1 两层神经网络
接下来我们开始详细推导神经网络的计算过程。
我们依旧来看看我们熟悉的逻辑回归，我们用其构建两层神经网络。逻辑回归的前向传播计算可以分解成计算\(z\)和\(a\)的两部分。
如果我们基于逻辑回归构建两层神经网络，前向计算从前往后要做2次计算：
- 从输入层到隐藏层，对应一次逻辑回归运算。
- 从隐藏层到输出层，对应一次逻辑回归运算。
在每层计算中，我们注意对应的上标和下标：
- 我们记上标方括号\(^{[ ]}\)表示layer，记下标表示第几个神经元。例如，\(a_i^{[l]}\)表示第\(l\)层的第\(i\)个神经元。
- 注意，\(i\)从\(1\)开始，\(l\)从\(0\)开始。
2.2 单个样本计算方式
我们将输入层到隐藏层的计算公式列出来：
后续从隐藏层到输出层的计算公式为：
上述每个节点的计算都对应着一次逻辑运算的过程，分别由计算\(z\)和\(a\)两部分组成。
2.3 向量化计算
我们引入向量化思想提升计算效率，将上述表达式转换成矩阵运算的形式，如下所示：
我们这里特别注意一下数据维度：
- \(W^{[1]}\)的维度是\((4,3)\)
- \(b^{[1]}\)的维度是\((4,1)\)
- \(W^{[2]}\)的维度是\((1,4)\)
- \(b^{[2]}\)的维度是\((1,1)\)
2.4 数据集向量化计算
上面部分提到的是单个样本的神经网络正向传播矩阵运算过程。对于\(m\)个训练样本，我们也可以使用向量化矩阵运算的形式来提升计算效率。形式上，它和单个样本的矩阵运算十分相似，比较简单。我们记输入矩阵\(X\)的维度为\((n_x,m)\)，则有：
上述公式中，\(Z^{[1]}\)的维度是\((4,m)\)，4是隐藏层神经元的个数；\(A^{[1]}\)的维度与\(Z^{[1]}\)相同；\(Z^{[2]}\)和\(A^{[2]}\)的维度均为\((1,m)\)。
我们可以这样理解上述的矩阵：行表示神经元个数，列表示样本数目\(m\)。
3.激活函数
3.1 不同的激活函数与选择
在神经网络中，隐藏层和输出层都需要激活函数(activation function)，前面的例子中我们都默认使用Sigmoid函数\(\sigma(z)\)作为激活函数。实际我们有不同的激活函数可以选择，而且它们有各自的优点：
(1) tanh 函数
the hyperbolic tangent function，双曲正切函数
\[a = \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}} \]优点：函数输出介于\((-1,1)\)，激活函数的平均值就更接近0，有类似数据中心化的效果。效果几乎总比Sigmoid函数好(二元分类的输出层我们还是会用Sigmoid，因为我们希望输出的结果介于\((0,1)\))。
缺点：当\(z\)趋紧无穷大(或无穷小)，导数的梯度(即函数的斜率)就趋紧于0，这使得梯度算法的速度大大减缓。这一点和Sigmoid一样。
(2) ReLU函数
the rectified linear unit，修正线性单元
\[a=max(0,z) \]优点：当\(z > 0\)时，梯度始终为1，从而提高神经网络基于梯度算法的运算速度，收敛速度远大于Sigmoid和tanh。
缺点：当\(z < 0\)时，梯度一直为0，但是实际的运用中，该缺陷的影响不是很大。
(3) Leaky ReLU
带泄漏的ReLU
\[a=max(0.01z,z) \]优点：Leaky ReLU保证在\(z < 0\)的时候，梯度仍然不为0。
理论上来说，Leaky ReLU有ReLU的所有优点，但在实际操作中没有证明总是好于ReLU，因此不常用。
总结
在选择激活函数的时候，如果在不知道该选什么的时候就选择ReLU。当然也没有固定答案，要依据实际问题在交叉验证集合中进行验证分析。注意，我们可以在不同层选用不同的激活函数。
3.2 使用非线性激活函数的原因
使用线性激活函数和不使用激活函数、无论神经网络有多少层，输出都是输入的线性组合，与没有隐藏层效果相当，就成了最原始的感知器了。我们以2层神经网络做一个简单推导，如下：
假设所有的激活函数都是线性的，为了更简单一点，我们直接令激活函数\(g(z)=z\)，即\(a=z\)。那么，浅层神经网络的各层输出为：
\[z^{[1]}=W^{[1]}x+b^{[1]} \]\[a^{[1]}=z^{[1]} \]\[z^{[2]}=W^{[2]}a^{[1]}+b^{[2]} \]\[a^{[2]}=z^{[2]} \]我们对上述公式中\(a^{[2]}\)展开计算，得：
\[\begin{aligned} a^{[2]}=z^{[2]} &=W^{[2]} a^{[1]}+b^{[2]} \\ &=W^{[2]}\left(W^{[1]} x+b^{[1]}\right)+b^{[2]} \\ &=\left(W^{[2]} W^{[1]}\right) x+\left(W^{[2]} b^{[1]}+b^{[2]}\right) \\ &=W^{\prime} x+b^{\prime} \end{aligned} \]上述推导后，我们可以发现\(a^{[2]}\)仍是输入变量\(x\)的线性组合！后续堆叠更多的层次，也可以依次类推，这表明，使用神经网络，如果不使用激活函数或使用线性激活函数，与直接使用线性模型的效果并没有什么两样！因此，隐藏层的激活函数必须要是非线性的。
不过，在部分场景下，比如是回归预测问题而不是分类问题，输出值\(y\)为连续值，输出层的激活函数可以使用线性函数。如果输出\(y\)恒为正值，则也可以使用ReLU激活函数，这些具体情况具体分析。
3.3 激活函数的导数
我们来看一下不同激活函数的导数，这将在我们反向传播中频繁用到。
4.神经网络的梯度下降法
下面我们来一起看看，神经网络中的梯度计算。
我们依旧以浅层神经网络为例，它包含的参数为\(W^{[1]}\)，\(b^{[1]}\)，\(W^{[2]}\)，\(b^{[2]}\)。
令输入层的特征向量个数\(n_x=n^{[0]}\)，隐藏层神经元个数为\(n^{[1]}\)，输出层神经元个数为\(n^{[2]}=1\)。则：
- \(W^{[1]}\)的维度为\((n^{[1]},n^{[0]})\)
- \(b^{[1]}\)的维度为\((n^{[1]},1)\)
- \(W^{[2]}\)的维度为\((n^{[2]},n^{[1]})\)
- \(b^{[2]}\)的维度为\((n^{[2]},1)\)
4.1 神经网络中的梯度下降
上述神经网络的前向传播过程，对应的公式如下图左侧。反向传播过程，我们会进行梯度计算，我们先列出Cost Function对各个参数的梯度，如下图右侧公式。
其中，np.sum使用到python中的numpy工具库，想了解更多的同学可以查看ShowMeAI的 图解数据分析 系列中的numpy教程，也可以通过ShowMeAI制作的numpy速查手册 快速了解其使用方法)
4.2 反向传播（拓展补充）
我们使用上篇内容 神经网络基础 中的计算图方式来推导神经网络反向传播。回忆我们前面提到的逻辑回归，推导前向传播和反向传播的计算图如下图所示：
因为多了隐藏层，神经网络的计算图要比逻辑回归的复杂一些，如下图所示。
综上，对于浅层神经网络（包含一个隐藏层）而言，「单个样本」和「m个训练样本」的反向传播过程分别对应如下的6个表达式（都是向量化矩阵形式）：
5.随机初始化
5.1 全零初始化权重问题
我们在很多机器学习模型中，会初始化权重为0。但在神经网络模型中，参数权重\(W\)是不能全部初始化为零的，它会带来对称性问题(symmetry breaking problem)，下面是分析过程。
假设一个浅层神经网络包含两个输入，隐藏层包含两个神经元。
如果权重\(W^{[1]}\)和\(W^{[2]}\)都初始化为零，这样使得隐藏层第一个神经元的输出等于第二个神经元的输出，即\(a_1^{[1]}=a_2^{[1]}\)。容易得到\(dz_1^{[1]}=dz_2^{[1]}\)，以及\(dW_1^{[1]}=dW_2^{[1]}\)。
我们发现：隐藏层两个神经元对应的权重行向量\(W_1^{[1]}\)和\(W_2^{[1]}\)每次迭代更新都会得到完全相同的结果，\(W_1^{[1]}\)始终等于\(W_2^{[1]}\)，完全对称！这样隐藏层设置多个神经元就没有任何意义了。
当然，因为中间层每次只会有1个偏置项参数\(b\)，它可以全部初始化为零，并不会影响神经网络训练效果。
5.2 解决方法
上述提到的权重W全部初始化为零带来的问题就是symmetry breaking problem(对称性)。解决方法也很简单：在初始化的时候，\(W\)参数要进行随机初始化，不可以设置为0。而\(b\)因为不存在对称性的问题，可以设置为 0。
以 2 个输入，2 个隐藏神经元为例：
W = np.random.rand(2,2)* 0.01
b = np.zeros((2,1))
这里将 \(W\) 的值乘以 0.01(或者其他的常数值)的原因是为了使得权重 \(W\) 初始化为较小的值，这是因为使用 Sigmoid 函数或者 tanh 函数作为激活函数时：
- 若\(W\) 比较小，则 \(Z=WX+b\) 所得的值趋近于 0，梯度较大，能够提高算法的更新速度。
- 若 \(W\) 设置的太大，得到的梯度较小，训练过程因此会变得很慢。
ReLU 和 Leaky ReLU 作为激活函数时不存在这种问题，因为在大于 0 的时候，梯度均为 1。如果输出层是Sigmoid函数，则对应的权重\(W\)最好初始化到比较小的值。
参考资料
- 图解数据分析
- numpy速查手册
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- 图解数据分析：从入门到精通系列教程
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