bzoj2809 APIO2012 派遣（左偏树）

题面

在一个忍者的帮派里，一些忍者们被选中派遣给顾客，然后依据自己的工作获取报偿。在这个帮派里，有一名忍者被称之为 Master。除了 Master以外，每名忍者都有且仅有一个上级。为保密，同时增强忍者们的领导力，所有与他们工作相关的指令总是由上级发送给他的直接下属，而不允许通过其他的方式发送。现在你要招募一批忍者，并把它们派遣给顾客。你需要为每个被派遣的忍者支付一定的薪水，同时使得支付的薪水总额不超过你的预算。另外，为了发送指令，你需要选择一名忍者作为管理者，要求这个管理者可以向所有被派遣的忍者发送指令，在发送指令时，任何忍者（不管是否被派遣）都可以作为消息的传递人。管理者自己可以被派遣，也可以不被派遣。当然，如果管理者没有被排遣，就不需要支付管理者的薪水。你的目标是在预算内使顾客的满意度最大。这里定义顾客的满意度为派遣的忍者总数乘以管理者的领导力水平，其中每个忍者的领导力水平也是一定的。写一个程序，给定每一个忍者 i的上级 Bi，薪水Ci，领导力L i，以及支付给忍者们的薪水总预算 M，输出在预算内满足上述要求时顾客满意度的最大值。 1 ≤N ≤ 100,000 忍者的个数； 1 ≤M ≤ 1,000,000,000 薪水总预算； 0 ≤Bi < i 忍者的上级的编号； 1 ≤Ci ≤ M 忍者的薪水； 1 ≤Li ≤ 1,000,000,000 忍者的领导力水平。

【题解】：

题目可化简为：给定一棵n个点的有根树，每个点有两个属性Ci,Li，现在你要指定一个点r，并在r的子树中选取若干点（包括r），使得这些点之和(Ci之和)不超过M，选取一个方案的价值是选取个数乘以Lr，求最大价值。

分析可知：对于点r，我们应该在它的子树中选取尽可能多的点，因为value=选取个数*Lr。

我们考虑维护每个点Ci的一个大根堆，当堆内的Ci总和超过M时，弹出堆顶元素。

我们可以用dfs遍历每个r找答案，每个点的堆可以通过将其所有儿子的堆合并起来，在插入自己的节点Ci来得到。

综上：我们需要一个支持合并操作，删除最大值操作的堆，用左偏树即可；

#include
using namespace std;
const int N=1e5+10;
typedef long long ll;
int n,m,tot,first[N],rt[N],tr[N][2],num[N],c[N],l[N];
ll ans,sum[N];
int nex[N],to[N],dist[N];

void add(int x,int y){//建图
    nex[++tot]=first[x];
    first[x]=tot;
    to[tot]=y;
}

int merge(int x,int y){
    if(!x||!y) return x+y;//其中一棵子树为空，返回另一棵子树
    if(c[x]<c[y]) swap(x,y);//维护大根堆
    tr[x][1]=merge(tr[x][1],y);//合并x的右子树和y
    if(dist[tr[x][1]]>dist[tr[x][0]]) swap(tr[x][0],tr[x][1]);//要满足左偏性质
    if(dist[tr[x][1]]==0) dist[x]=0;
    else dist[x]=dist[tr[x][1]]+1;
    return x; 
}

void dfs(int x){//遍历
    sum[x]=c[x],num[x]=1,rt[x]=x;
    for(int i=first[x],v;i;i=nex[i]){
        dfs(v=to[i]);
        num[x]+=num[v];sum[x]+=sum[v];
        rt[x]=merge(rt[x],rt[v]);
    }
    while(sum[x]>m){//总和超过m，删点
        sum[x]-=c[rt[x]];num[x]--;
        rt[x]=merge(tr[rt[x]][1],tr[rt[x]][0]);
    }
    ans=max(ans,(ll)num[x]*l[x]);//更新答案
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,x;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&c[i],&l[i]);
        if(x) add(x,i); 
    }
    dfs(1);。
    cout<<ans;
    return 0;
}

左偏树

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