向量空间，列空间和零空间

reference的内容为唯一教程，接下来的内容仅为本人的课后感悟，对他人或无法起到任何指导作用。

Reference

1. Course website: Transposes, Permutations, Vector Spaces | Unit I: Ax = b and the Four Subspaces | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare和Column Space and Nullspace | Unit I: Ax = b and the Four Subspaces | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare
2. Course video: 麻省理工公开课：线性代数-转置-置换-向量空间R-网易公开课 (163.com)和麻省理工公开课：线性代数-列空间和零空间-网易公开课 (163.com)
3. Course summary: Transposes, Permutations, Vector Spaces (mit.edu)和Column Space and Nullspace (mit.edu)
4. Extra reading: Section 3.1 in Introduction to Linear Algebra, Fifth Edition by Gilbert Strang.
5. Extra videos (3Blue1Brown):
   1. Inverse matrices, column space and null space | Chapter 7, Essence of linear algebra - YouTube

---

终于回到了正轨，这一部分简单介绍向量空间的几个空间，没什么东西。

Vector Space and Subspace

n维向量空间包含所有有n个元素的向量的空间。

向量空间就是一堆向量组成的空间，需要满足加法和数乘运算封闭性。向量空间的子空间是向量空间内的向量空间。

由于需要满足封闭性，对数乘0的运算要封闭，对数乘-1再相加的运算也要封闭，因此零向量必须在子空间内。

2维向量空间的子空间可能是原点，过原点的直线和整个向量空间。3维的可能是原点，过原点的直线，过原点的平面和整个向量空间。

Column Space

矩阵\(\boldsymbol{A}\)的所有列张成的空间是列空间。

\(\boldsymbol{Ax}\)组成的向量集合是列空间，对向量空间中所有可能的向量\(\boldsymbol{x}\)进行\(\boldsymbol{A}\)线性变换组成的空间是列空间。

如果\(\boldsymbol{b}\)在\(\boldsymbol{A}\)的列空间内，\(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}\)有解，否则无解。

\(\boldsymbol{Ax}\)组成的空间是\(\boldsymbol{x}\)所在维度向量空间的子空间。

Null Space

满足\(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}\)的\(\boldsymbol{x}\)组成的向量集合是零空间\(\boldsymbol{N(A)}\)。也就是所有经过线性变换\(\boldsymbol{A}\)后能变成零向量的向量\(\boldsymbol{x}\)的集合。

零空间是向量空间，因为满足加法和数乘运算封闭性。因为：

\[\boldsymbol{A}(v\boldsymbol{x_{1}}+w\boldsymbol{x_{2}})=v\boldsymbol{Ax_1}+w\boldsymbol{Ax_2}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0} \]

对于\(m\times{n}\)的矩阵\(\boldsymbol{A}\)，显然根据矩阵乘法的size规律，\(\forall\boldsymbol{x}\in{\boldsymbol{N(A)}}\Rightarrow\boldsymbol{x}\in\R^n\)