前言

　　我们知道，要构造Huffman Tree，每次都要从堆中弹出最小的两个权重的节点，然后把这两个权重的值相加存放到新的节点中，同时让这两个节点分别成为新节点的左右儿子，再把新节点插入到堆中。假设节点个数为n，则重复n-1次后，最后堆中的那个节点就是Huffman Tree的根。

　　用堆实现当然可以，但是比较麻烦。你需要定义一个最小堆，堆的初始化操作，堆的插入操作，取出最小元素并调整堆的操作。先不说对这些代码是否熟悉掌握，当把这些函数都码完，别人题目都已经做完了。

　　这里我们用更方便的方法来构造一颗Huffman Tree。就是用STL中的优先队列。其实优先队列的本质就是一个堆。这样我们就不需要再动手码这么多的函数了。同时，如果以后的题目需要用到堆这种数据结构，直接用优先队列就可以了。

用优先队列构造Huffman Tree

　　要使用优先队列 priority_queue ，就需要包含头文件 #include  。

　　树节点的定义如下：

1 struct Data {
2     char letter;
3     int freq;
4 };
5 
6 struct TNode {
7     Data data;
8     TNode *left, *right;
9 };

　　然后输入字符和频率大小，把TNode*压入到优先队列中。当我们需要频率最小的频率的那个节点，只需要从优先队列中弹出一个元素就可以了，那个元素就是含有最小频率的那个节点。

　　不过需要注意的是，优先队列默认情况下是一个最大堆，这需要我们自定义一个比较函数，以实现最小堆。同时，我们比较的数据类型是我们自定义的数据类型TNode*，所以需要改成相应的数据类型。

　　这里我们通过重写仿函数，来实现最小堆：

1 class cmp {
2 public:
3     bool operator()(TNode *a, TNode *b) {
4         // 当返回true，说明a的优先级小于b
5         // 这里用 '>' 表示，如果a节点对应的频率大于b节点，就说明a的优先级小于b，从而实现堆顶元素是频率最小的那个节点，也就是最小堆
6         return a->data.freq > b->data.freq;
7     }
8 };

　　这里我们压入到优先队列中的数据类型是TNode*，因此在定义优先队列时，传入的数据类型是TNode*。读入数据的函数如下：

 1 void readData(std::priority_queue, cmp> &pq) {    // 传入在main函数中定义的优先队列 
 2     int n;
 3     scanf("%d", &n);            // 输入节点的个数 
 4     for (int i = 0; i < n; i++) {
 5         TNode *tmp = new TNode;
 6         
 7         getchar();              // 把多余的字符，也就是回车和空格读掉 
 8         scanf("%c %d", &tmp->data.letter, &tmp->data.freq);
 9         tmp->left = tmp->right = NULL;
10         pq.push(tmp);           // 把新节点的指针压进优先队列中 
11     }
12 }

　　最后是核心代码，构造Huffman Tree的函数。

　　函数框架：如果优先队列不为空，则新建一个TNode节点，弹出堆顶的元素，并让新节点的left指向弹出这个弹出的节点。再判断一次优先队列是否为空；

• 如果不为空，就再弹出一个堆顶元素，并让新节点的right指向弹出的节点。同时，把弹出的两个节点的频率相加的结果存放到新节点中，最后把新节点的指针压到堆中。
• 如果为空，就说明刚刚弹出的节点就是我们要构造的Huffman Tree的根节点，只需要把它返回就可以了。

　　所以，构造Huffman Tree的函数如下：

 1 TNode *createHuffmanTree(std::priority_queue, cmp> &pq) {
 2     while (!pq.empty()) {           // 优先队列不为空 
 3         TNode *tmp = new TNode;     // 新建一个节点 
 4         tmp->left = pq.top();       // 弹出堆顶元素，作为新节点的左孩子 
 5         pq.pop();
 6         
 7         if (!pq.empty()) {          // 刚才弹出元素后，优先队列不为空 
 8             tmp->right = pq.top();  // 再弹出一个元素，作为新节点的右孩子 
 9             pq.pop();
10             
11             tmp->data.freq = tmp->left->data.freq + tmp->right->data.freq;  // 把左右孩子存放的频率的相加结果存放到新节点中 
12             pq.push(tmp);           // 把新节点的指针压入优先队列中 
13         }
14         else {                      // 否则，刚才弹出元素后，优先队列就空了 
15             return tmp->left;       // 刚才弹出的元素就是Huffman Tree的根节点，直接返回即可 
16         }
17     }
18 }

 　　现在给出完整的构造Huffman Tree的代码，同时计算出这颗Huffman Tree的WPL。

 1 #include 
 2 #include 
 3 #include 
 4 
 5 struct Data {
 6     char letter;
 7     int freq;
 8 };
 9 
10 struct TNode {
11     Data data;
12     TNode *left, *right;
13 };
14 
15 class cmp {
16 public:
17     bool operator()(TNode *a, TNode *b) { 
18         return a->data.freq > b->data.freq;
19     }
20 };
21 
22 void readData(std::priority_queue, cmp> &pq);
23 TNode *createHuffmanTree(std::priority_queue, cmp> &pq);
24 int WPL(TNode *T, int depth);
25 
26 int main() {
27     std::priority_queue, cmp> pq;
28     
29     readData(pq);
30     TNode *huffmanTree = createHuffmanTree(pq);
31     printf("%d", WPL(huffmanTree, 0));
32     
33     return 0;
34 }
35 
36 void readData(std::priority_queue, cmp> &pq) { 
37     int n;
38     scanf("%d", &n);
39     for (int i = 0; i < n; i++) {
40         TNode *tmp = new TNode;
41         
42         getchar();
43         scanf("%c %d", &tmp->data.letter, &tmp->data.freq);
44         tmp->left = tmp->right = NULL;
45         pq.push(tmp);
46     }
47 }
48 
49 TNode *createHuffmanTree(std::priority_queue, cmp> &pq) {
50     while (!pq.empty()) {
51         TNode *tmp = new TNode;
52         tmp->left = pq.top();
53         pq.pop();
54         
55         if (!pq.empty()) {
56             tmp->right = pq.top();
57             pq.pop();
58             
59             tmp->data.freq = tmp->left->data.freq + tmp->right->data.freq;
60             pq.push(tmp);
61         }
62         else {
63             return tmp->left;
64         }
65     }
66 }
67 
68 int WPL(TNode *T, int depth) {
69     if (T->left == NULL && T->right == NULL) return depth * T->data.freq;
70     else return WPL(T->left, depth + 1) + WPL(T->right, depth + 1);
71 }

　　对应的Huffman Tree如下，通过检验WPL正是77。

满足最优编码的条件

　　我们知道，通过构造Huffman Tree而得到的编码一定是最优编码，但是最优编码不一定是通过构造Huffman Tree来得到的。而且通过构造Huffman Tree得到的最优编码是不唯一的，任意交换左右子树的位置得到的也是最优编码。

　　所以我们如何判断给定的编码是否为最优编码？首先，我们要找到最优编码的共同特点：

1. 最优编码的WPL一定是最小的。
2. 无歧义解码——前缀码：数据仅存于叶子节点。
3. 没有度为1的节点。

　　其中如果满足1，2这两个条件，就一定满足第3个条件，这个可以用反证法证明。所以，要判断编码是否为最优编码，只需要检验编码是否满足1，2这两个条件就可以了。

　　下面给出一道具体的题目，来说明如何对编码进行1，2点的检验。

判断编码是否为最优编码

　　这里给出一道例题：Huffman Codes。题目就是给定一组字符的频率，再给出多组字符对应的编码，让我们来判断这些编码是否为最优编码。

原题以及更详细的题解可以参考：https://www.cnblogs.com/onlyblues/p/14628257.html，这里给出多种解法，有用堆去实现的，有用优先队列实现的。

　　这里我们用优先队列来判断编码是否为最优编码。我们只摘取题目中的测试样例：

Sample Input:

7
A 1 B 1 C 1 D 3 E 3 F 6 G 6
4
A 00000
B 00001
C 0001
D 001
E 01
F 10
G 11
A 01010
B 01011
C 0100
D 011
E 10
F 11
G 00
A 000
B 001
C 010
D 011
E 100
F 101
G 110
A 00000
B 00001
C 0001
D 001
E 00
F 10
G 11

Sample Output:

Yes
Yes
No
No

　　虽然题目看上去好像要构造一颗Huffman Tree，但实际上我们可以在整一个过程中不构造任何一颗树，只需要用到STL中的map和priority_queue就可以完成判断编码是否为最优编码。我们只需要判断编码是否为最优编码，因此更多的是处理频率这一数据。

　　先给出整一个程序框架。我们先读入字符和对应频率，同时把频率压入优先队列形成最小堆。然后再输入多组要判断是否为最优编码的数据，同时进行相应的判断和检测。所以我们的main函数的框架就是这样：

 1 int main() {
 2     map<char, int> letterFreq;    // 用map来存储字符和对应的频率，字符映射为对应的频率 
 3     priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > pq;    // 优先队列，存储的数据类型为int，由于默认是最大堆，所以传入greater使其变成最小堆 
 4     
 5     int n;
 6     cin >> n;
 7     readLetterFreq(letterFreq, pq, n);      // 读入字符和频率，同时为频率生成最小堆的函数 
 8     checkOptimalCode(letterFreq, pq, n);    // 判断多组编码是否为最优编码的函数 
 9     
10     return 0;
11 }

　　下面来分析这两个函数是如何实现的。首先，对于输入的字符和对应的频率，我们用map来存储，形成一种映射的关系。同时在输入字符和频率的过程中，我们把频率压入优先队列中，这样就可以在读入字符和频率的过程中，也完成最小堆的构造。注意，我们压入优先队列的是字符频率，所以优先队列存储的数据类型是int，而不再是上面的TNode*了。

　　readLetterFreq函数相关代码如下：

 1 void readLetterFreq(map<char, int> &letterFreq, priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > &pq, int n) {
 2     for (int i = 0; i < n; i++) {
 3         char letter;
 4         getchar();                  // 读掉多余的字符，如回车，空格 
 5         cin >> letter;              // 读入字符 
 6         getchar();
 7         cin >> letterFreq[letter];  // 读入频率，为字符的映射 
 8         
 9         pq.push(letterFreq[letter]);// 把读入的频率压入到优先队列中，构成最小堆 
10     }
11 }

　　接下来我们要做的事情是计算给定字符的WPL。其实计算WPL不一定要构造一颗Huffman Tree，然后用深度乘以频率再求和来得到。还有一种方法是把Huffman Tree中度为2的节点存放的频率都相加起来，最后得到的结果也是WPL。这是因为叶子节点被重复计算，和用深度乘以频率的原理基本一样。就拿题目给的测试样例来举例：

　　这看上去还是要构造一颗树啊，但实际上，如果我们用优先队列根本不需要构造一颗树。思路是这样的：我们要有一个变量来累加如上图度为2节点存放频率。每次从优先队列里弹出两个频率，这两个频率是优先队列中所包含频率里面最小的那两个，然后把这两个频率相加，相加的结果其实就对应上图度为2节点存放的频率，也就是红色的数字。然后把相加的结果累加到一个变量，同时把相加的结果压入优先队列中。其实这个累加的过程就是累加上图红色的那些数字。一直重复，直到优先队列为空，那么那个变量最后累加的结果就是我们要计算的WPL。

　　计算WPL的函数代码如下：

 1 int getWPL(priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > &pq) {
 2     int wpl = 0;                // 用来保存累加的结果 
 3     while (!pq.empty()) {       // 当优先队列不为空 
 4         int tmp = pq.top();     // 从优先队列弹出一个元素，这个元素就是最小频率 
 5         pq.pop();
 6         
 7         if (pq.empty()) break;  // 如果弹出那个频元素优先队列就为空了，退出循环 
 8         
 9         tmp += pq.top();        // 如果优先队列不为空，再弹出一个元素，同时把两个频率进行相加 
10         pq.pop();
11         pq.push(tmp);           // 把两个频率相加的结果压入优先队列中 
12         
13         wpl += tmp;             // 同时，把这个相加结果进行累加，对应着累加度为2节点的存放频率 
14     }
15     
16     return wpl;
17 }

　　接下来我们需要对多组编码进行检验。即先检验编码的长度是否与给定字符频率的WPL相同，再检验是否为前缀码。

　　计算每组编码的方法很简单，由于输入已经给出每个字符的编码，所以就自然知道这个字符对应编码的长度。所以并不需要调用上面的getWPL函数，只需要用这个字符对应的编码长度乘以对应的频率就可以了。每一组编码的WPL计算公式为：

　　再判断codeLen是否与上面求出的给定频率的WPL相等，如果不相等，就说明这个编码不是最优编码，就不需要再判断是否为前缀码了。如果相等再去判断是否为前缀码。

　　这里还有个陷阱。首先我们要知道，一个最优编码的长度是不会超过n-1的。所以如果某个编码的长度大于n-1也说明该编码不是最优编码。

　　这里先给出checkOptimalCode函数的代码，接下来解释如何判断编码是否为前缀码。

 1 void checkOptimalCode(map<char, int> &letterFreq, priority_queue< int, vector<int>, greater<int> > &pq, int n) {
 2     int wpl = getWPL(pq);        // 用不构造Huffman Tree的方法来计算WPL 
 3     
 4     int m;
 5     cin >> m;                    // 输入判断编码的组数m 
 6     for (int i = 0; i < m; i++) {
 7         string code[n];
 8         int codeLen = 0;
 9         bool ret = true;
10         
11         for (int i = 0; i < n; i++) {
12             char letter;
13             getchar();
14             cin >> letter >> code[i];   // 读入字符和对应的编码 
15             
16             if (ret) {  // 如果已经知道该组编码不是最优编码就不需要再计算编码长度了，但仍要继续输入
17                 if (code[i].size() > n - 1) ret = false;        // 如果某个字符的编码长度大于n-1，说明该组编码不是最优编码
18                 codeLen += code[i].size() * letterFreq[letter]; // 计算编码长度
19             } 
20         }
21         
22         if (ret && codeLen == wpl) {        // 如果ret == true并且编码长度与WPL相同，才判断该组编码是否为前缀码
23             for (int i = 0; i < n; i++) {   // 每个字符都跟它之后的字符进行判断是否满足前缀码的要求
24                 for (int j = i + 1; j < n; j++) {
25                     // 判断某个编码是否与另外一个编码前m个位置的相同，详细请看图片
26                     if (code[i].substr(0, code[j].size()) == code[j].substr(0, code[i].size())) {
27                         ret = false;        // 只要有一对编码的前缀相同，就说明这组的编码不满足前缀码
28                         break;              // 后面的字符不需要判断了，直接退出退出判断前缀码的循环
29                     }
30                 }
31                 if (ret == false) break;
32             }
33         }
34         else {
35             ret = false;
36         }
37         
38         cout << (ret ? "Yes\n" : "No\n");
39     }
40 }

　　下面来说说如何判断编码是否为前缀码。首先，假设现在有两个编码，如果这两个编码不满足前缀码的话，比如"110"和"1101"，那么其中一个编码会与另外一个编码前的m个位置的相同（其中m是指这两个编码长度中最小的那个长度）。也就是说"110"，与"1101"的前3个位置的"110"相同，就说明"110"和"1101"不满足前缀码。

　　我们需要对同组编码的每两个字符进行比较，需要比较的次数为 C(n, 2) = n * (n - 1) / 2 。

　　相关的函数代码上面已经给出。主要是 code[i].substr(0, code[j].size()) == code[j].substr(0, code[i].size()) 这个部分。

　　 code[i].substr(0, code[j].size()) == code[j].substr(0, code[i].size()) ，这么做始终能够保证取到两个编码中，长度最小那个编码的全部，以及另外一个编码的前面同样长度的部分，来进行判断是否满足前缀码。

　　下面给出这道题完整的AC代码：

 1 #include 
 2 #include 
 3 #include <string>
 4 #include 
 5 #include 
 6 #include 

参考资料

　　Huffman Codes：https://www.cnblogs.com/onlyblues/p/14628257.html

　　priority_queue的用法：https://www.cnblogs.com/Deribs4/p/5657746.html