组合数公式
组合数公式
组合数\(\displaystyle C(n,m)=C_n^m=\binom{n}{m}\)
递推式
\[C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m) \]组合数完全累和
\[\displaystyle \sum_{i=0}^n C(n,i) =2^n \]奇偶累和
\[\displaystyle \sum_0^n (-1)^i C(n,i)=[n=0] \]$\sum\cdots\sum \rightarrow C() $型
我们熟知的有
\[\displaystyle \sum_{i=1}^{n}1=n = C(n,1) \]\[\displaystyle\sum _{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} 1= \frac{n(n-1)}{2} \]更一般的
\[\displaystyle\underbrace {\sum \sum ... \sum} 1 =C(n,k) \]\[(k个\sum) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \]$ ... \ \cdot C(n,i)$型
$\displaystyle \sum i \cdot C(n,i) $
\(\displaystyle = \sum {i \cdot \frac{n!}{i! \cdot (n-i)!}}\)
\(\displaystyle = \sum { \frac{n!}{(i-1)! \cdot (n-i)!}}\)
\(\displaystyle=\sum {n \cdot \frac {(n-1)!} {(i-1)! \cdot (n-i)!}}\)
\(\displaystyle=n\cdot \sum C(n-1,i-1)\)
同理的
\[\sum i\cdot (i-1)\cdot C(n,i)=n \cdot (n-1) \cdot \sum C(n-2,i-2) \]带入还能得到
\[\sum i^2 \cdot C(n,i) = n \cdot (n-1) \cdot \sum C(n-2,i-2)+n \cdot \sum C(n-1,i-1) \]更一般的，可以表示成
\[\sum C(i,k) \cdot C(n,i) =C(n,k) \cdot \sum C(n-k,i-k) \]多组合数相乘型
\(\displaystyle \sum_{i=0}^{k} C(n,i)\cdot C(m,k-i) = C(n+m,k)\)
其实就是两个组合问题的组合，可以直接通过实际意义得到
Lucas定理
$ C(n,m) \mod p = C(n \mod p,m \mod p) \cdot C(\lfloor\frac{n} {p}\rfloor, \lfloor \frac{m} {p}\rfloor) \mod p$
预处理阶乘逆元后，可以用于解决模数较小而\(n,m\)较大的组合数问题
前缀和
列
\(\displaystyle \sum_{i=0}^n \binom{i}{m}=\binom{n+1}{m+1}\)
由递推式\(\displaystyle \binom{i}{m}=\binom{i-1}{m}+\binom{i-1}{m-1}\)容易迭代发现
\[\ \]行
令 \(S(n,m)=\sum_{i=0}^{m} C(n,i)\)
\(S(n,m)+S(n,m+1)\)
\(=\sum_{i=0}^{m}(C(n,i)+C(n,i+1))+C(n,0)\)
\(=\sum C(n+1,i+1)+C(n,0)\) (带入递推公式)
\(=S(n+1,m+1)\)
又\(\because S(n,m)+S(n,m+1)=2S(n,m+1)-C(n,m+1)\)
\(\therefore S(n,m)=2S(n-1,m)-C(n-1,m)\)
(待补。。。)