二级运算及其性质

二级运算的定义(P177)

设S为一个集合,函数 f:S×S→S 称为S上的二元运算,简称为二元运算.

　　如: f:N×N→N  f()=x+y

封闭/不封闭的概念

• 集合S上二元运算,任何两个元素的运算结果都属于S,即为S对该运算是封闭的
• xx集对xx运算不封闭——N对减法运算不封闭

如何判断是否为集合S上的二元运算

• S中任何两个元素都可以进行这种运算,并且运算结果是唯一的.
• S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是封闭的.

例9.1有6个二元运算的例子

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6

算符的概念(P178)

二元运算

通常用 ? , * , · 等符号表示二元运算,称为算符.

设 f: S×S→S.若F()=x+y,则可以利用算符简记为x·y=z.

一元运算

类似于二元运算.

设f: S→S.若f(x)=y,则可用算符表示为·(x)=y或·x=y.

例9.3有6个一元运算的例子

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6

例如,相反数-x,集合A的绝对补集~A,都是上述表示形式,其中-和~都是算符.(P179还有运算表这一表示方法)

二元运算的几个主要性质(P180)

交换律

 设 · 为S上的二元运算,对任意的x,y,z∈S都有x·y=y·x.

则称运算 · 在S上是可交换的,或者说运算 · 在S上适合交换律.

结合律

 (x·y)·z=x·(y·z)

幂等律

 x·x=x

幂等元

若S中某些x满足x·x=x.则称x为运算 · 的幂等元.

如果适合幂等律=>所有元素都是幂等元.

分配律

 设 · 和 * 是S上的两个二元运算,如果对任意的x,y,z∈S有

• x*(y·z)=(x*y)·(x*z)
• (y·z)*x=(y*x)·(z*x)

则称 * 对 · (括号外对括号里)是可分配的,或 * 对 · 适合分配律.

不能笼统地讲谁和谁适合分配律,因为往往是一个运算对另一个运算可分配,但反之不对

用归纳法可证,若 * 对 · 运算分配律成立,则广义分配律也成立

吸收律

设 · 和 * 是S上的两个可交换的二元运算,如果对于任意的x,y都有

• x*(x·y)=x
• x·(x*y)=x

则称 · 和 * 满足吸收律