【6】数学归纳法证明数列不等式一例

问题(2021浙江省高等数学竞赛)：设\(\displaystyle a_1=1\)，\(\displaystyle a_n=\sin a_{n-1}\left( n\geqslant 2 \right)\)，证明：\(\displaystyle a_n\geqslant \frac{1}{\sqrt{n}}\left( n\geqslant 2 \right)\).

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过程如下：

当\(\displaystyle n=2\)时，

\[a_2=\sin a_1=\sin 1>\sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}} \]

假设当\(\displaystyle n=k\left( k\geqslant 3 \right)\)，该不等式也成立，即\(\displaystyle a_k\geqslant \frac{1}{\sqrt{k}}\)

当\(\displaystyle n=k+1\)时，只需证明

\[a_{k+1}=\sin a_k\geqslant \sin \frac{1}{\sqrt{k}}\geqslant \frac{1}{\sqrt{k+1}} \]

对于这个不等式的证明，给出两种方法

方法1.借助Taylor展开放缩证明

根据\(\text{Taylor}\)展开，我们容易得到

\[\sin x\geqslant x-\frac{x^3}{6}\left( 0

尝试证明

\[\sin \frac{1}{\sqrt{k}}\geqslant \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{6\left( \sqrt{k} \right) ^3}\geqslant \frac{1}{\sqrt{k+1}} \]

做变换：\(\displaystyle u=\frac{1}{\sqrt{k}}(0

即证

\[u-\frac{1}{6}u^3\geqslant \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{u^2}}}=\frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \]

两边平方后化简，有

\[\frac{1}{1+u^2}\geqslant \frac{1}{3}-\frac{1}{36}u^2 \]

\[\frac{1}{1+u^2}\geqslant \frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}>\frac{1}{3}>\frac{1}{3}-\frac{1}{36}u^2 \]

因此\(\displaystyle a_n\geqslant \frac{1}{\sqrt{n}}\left( n\geqslant 2 \right)\).

方法2.换元法证明

对于不等式

\[\sin \frac{1}{\sqrt{k}}\geqslant \frac{1}{\sqrt{k+1}} \]

做变换：\(\displaystyle u=\frac{1}{\sqrt{k}},u=\tan \theta\)，即证

\[\sin \left( \tan \theta \right) \geqslant \frac{\tan \theta}{\sec \theta}=\sin \theta \]

由于

\[0<\tan \theta <1,\quad \tan \theta >\theta \]

因此不等式成立，得\(\displaystyle a_n\geqslant \frac{1}{\sqrt{n}}\left( n\geqslant 2 \right)\).